Высота,проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника ,делит гипотенузу на отрезки,равные...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство подобных треугольников.

Пусть меньший катет треугольника равен ( x ) см. Тогда, согласно условию задачи, высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 15 см.

Из подобия треугольников мы можем записать следующее равенство отношений сторон: [ \frac{x}{15} = \frac{5}{x} ]

Решив это уравнение, получаем: [ x^2 = 75 ] [ x = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} ]

Таким образом, меньший катет треугольника равен 5√3 см. Ответ: 4) 5√3 см.

Когда в прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, можно использовать свойства подобных треугольников и теорему о высоте в прямоугольном треугольнике для нахождения длин катетов.

Давайте обозначим треугольник как ( ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ), ( AC ) и ( BC ) — катеты, а ( AB ) — гипотенуза. Высота ( CD ), проведённая из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ), делит её на два отрезка ( AD = 5 ) см и ( DB = 15 ) см.

Сначала находим длину гипотенузы ( AB ): [ AB = AD + DB = 5 + 15 = 20 \text{ см} ]

Теперь применим теорему о высоте в прямоугольном треугольнике: [ CD^2 = AD \cdot DB ] [ CD^2 = 5 \cdot 15 = 75 ] [ CD = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]

Далее используем свойства подобных треугольников. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, делит его на два подобных треугольника, которые подобны исходному треугольнику. Поэтому: [ \frac{AC}{CD} = \frac{CD}{BC} ] Или: [ AC \cdot BC = CD^2 ] Так как ( CD = 5\sqrt{3} ): [ AC \cdot BC = (5\sqrt{3})^2 = 75 ]

Теперь найдём катеты ( AC ) и ( BC ) (помним, что ( AB = 20 \text{ см} )):

Мы знаем, что: [ AC^2 + BC^2 = AB^2 ] [ AC^2 + BC^2 = 20^2 = 400 ]

И также что: [ AC \cdot BC = 75 ]

Рассмотрим это как систему уравнений:

1. ( AC^2 + BC^2 = 400 )
2. ( AC \cdot BC = 75 )

Решим систему: Обозначим ( AC = x ) и ( BC = y ): [ x \cdot y = 75 ] [ x^2 + y^2 = 400 ]

Из первого уравнения выразим ( y ): [ y = \frac{75}{x} ]

Подставим во второе уравнение: [ x^2 + \left( \frac{75}{x} \right)^2 = 400 ] [ x^2 + \frac{5625}{x^2} = 400 ]

Умножим на ( x^2 ): [ x^4 + 5625 = 400x^2 ] [ x^4 - 400x^2 + 5625 = 0 ]

Введём новую переменную ( z = x^2 ): [ z^2 - 400z + 5625 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ z = \frac{400 \pm \sqrt{400^2 - 4 \cdot 5625}}{2} ] [ z = \frac{400 \pm \sqrt{160000 - 22500}}{2} ] [ z = \frac{400 \pm \sqrt{137500}}{2} ] [ z = \frac{400 \pm 370.81}{2} ]

Рассмотрим два корня:

1. ( z = \frac{400 + 370.81}{2} = 385.41 )
2. ( z = \frac{400 - 370.81}{2} = 14.59 )

Поскольку ( z = x^2 ):

1. ( x^2 = 385.41 ) (не подходит, так как ( x ) не будет действительным числом)
2. ( x^2 = 14.59 )

Таким образом: [ x = \sqrt{14.59} \approx 3.82 ]

Однако, учитывая что нам нужно определить меньший катет из предложенных вариантов, проверим их. Наиболее подходящий ответ из предложенных вариантов: 4) ( 5\sqrt{3} \text{ см} ).

Таким образом, меньший катет треугольника равен ( 5\sqrt{3} \text{ см} ).

Ответ: 10 см.