Для решения этой задачи воспользуемся свойствами подобия треугольников и свойством высот в треугольнике.
Пусть ABC — исходный треугольник с основанием AC, точка D — основание высоты, опущенной из вершины B на AC, причём AD = 8 и DC = 9. Пусть H — точка пересечения высоты из вершины B с другой высотой, опущенной из вершины A или C . По условию задачи, H делит высоту BD пополам, то есть BH = HD.
Обозначим высоту BD как h, тогда BH = HD = h/2. Поскольку H делит высоту пополам, треугольник ABH подобен треугольнику CBD по двум углам . Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон этих треугольников равно:
AB/AH = BC/HD.
Поскольку AH = h/2 и HD = h/2, получаем:
AB/ = BC/.
Заметим, что AB + BC = AC = 8 + 9 = 17.
Пусть AB = x, тогда BC = 17 - x. Подставим это в равенство:
x/ = /.
Упростим выражение:
x = 17 - x.
Отсюда x = 17/2 = 8.5.
Теперь, зная стороны, можно использовать площадь треугольника для вычисления высоты. Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения основания на высоту:
S = 1/2 AC BD = 1/2 17 h = 8.5h.
Площадь треугольника также равна сумме площадей треугольников ABH и BCH:
S = 1/2 AB AH + 1/2 BC HC = 1/2 8.5 + 1/2 8.5 = 8.5 * .
Упростим выражение:
8.5h = 8.5 * .
8.5h = 4.25h.
Отсюда h = 0, что является невозможным. Очевидно, была допущена ошибка в расчётах. Пересчитаем площадь, учитывая, что треугольник ABH подобен BCH:
Поскольку треугольники ABH и BCH подобны, их площади, отношение сторон которых равно квадрату отношения их сторон, равны:
( S{ABH} = S{BCH} ).
Следовательно, общая площадь ( S = S{ABH} + S{BCH} = 2S_{ABH} ).
Пусть AH и BH являются высотами в треугольниках ABH и BCH соответственно. Тогда:
( S_{ABH} = \frac{1}{2} AB AH ).
Зная, что AB = 8.5 и AH = h/2, и подставляя , получим:
( S_{ABH} = \frac{1}{2} 8.5 \frac{\sqrt{34}}{2} = \frac{8.5 \sqrt{34}}{4} ).
Так как ( S{ABH} = S{BCH} ), то:
.
Это значение должно быть равно площади треугольника ABC, выраженной через основание и высоту:
( S = \frac{1}{2} 17 h ).
Из этого следует:
.
Решая уравнение, найдем :
,
.
Это длина высоты треугольника, которая делит его основание на отрезки длиной 8 и 9 и делится пополам другой высотой.