Высота равнобокой трапеции равна 9 см,а ее диагонали перпендикулярны.Найдите периметр трапеции,если...

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и перпендикулярных диагоналей.

1. В равнобедренной трапеции диагонали равны и перпендикулярны, значит, они образуют четыре прямоугольных треугольника внутри трапеции. Поскольку диагонали перпендикулярны, то точка их пересечения делит каждую диагональ пополам.

2. Обозначим длину нижнего (большего) основания трапеции за ( b ), а верхнего (меньшего) основания за ( a ). Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, и каждая из них равна 12 см.

3. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, которые образованы диагоналями и основаниями трапеции. Высота трапеции (9 см) будет являться также высотой этих треугольников. Половины оснований трапеции (( \frac{a}{2} ) и ( \frac{b}{2} )) будут катетами этих треугольников.

4. Так как диагонали перпендикулярны и равны, то каждая диагональ будет гипотенузой двух прямоугольных треугольников, и ее можно найти по теореме Пифагора:

   [ d^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 ]

   Однако, поскольку ( d ) также является гипотенузой треугольника, образованного высотой трапеции и половинами оснований, то [ d^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + 9^2 ]

5. Поскольку боковая сторона ( 12 ) см является гипотенузой треугольника с высотой ( 9 ) см как одним из катетов, другой катет (половина разности оснований) можно найти по теореме Пифагора: [ 12^2 = 9^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 ] [ 144 = 81 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 ] [ \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = 63 ] [ \frac{b-a}{2} = 7 \quad \text{(поскольку } b > a\text{)} ] [ b - a = 14 ]

6. Используем тот факт, что диагонали разделяют трапецию на четыре равных прямоугольных треугольника с гипотенузой ( 12 ) см и одним из катетов ( 9 ) см. Тогда другой катет ( \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} = 7 ) см. Это половина разности оснований.

7. Найдем сумму оснований: [ \frac{a+b}{2} = \sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} ] [ a+b = 2 \times \sqrt{130} ]

8. Теперь найдем ( a ) и ( b ): [ a + b = 2\sqrt{130}, \quad b - a = 14 ] Решив систему уравнений, получаем: [ a = \sqrt{130} - 7, \quad b = \sqrt{130} + 7 ]

9. Периметр трапеции равен: [ P = a + b + 2 \times 12 = 2\sqrt{130} + 24 ]

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями и боковой стороной 12 см составляет ( 2\sqrt{130} + 24 ) см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства равнобокой трапеции.

Так как высота равнобокой трапеции перпендикулярна ее основаниям, то мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника. Таким образом, получится два прямоугольных треугольника со сторонами 9 см (высота), 6 см (половина основания) и диагоналей, которые являются гипотенузами этих треугольников.

Используя теорему Пифагора для каждого треугольника, найдем длину диагоналей: (d = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}.)

Теперь найдем длину основания трапеции: (a = 2 \cdot 6 = 12.)

Так как боковая сторона трапеции также равна 12 см, то периметр трапеции будет равен: (P = 12 + 12 + 3\sqrt{13} + 3\sqrt{13} = 24 + 6\sqrt{13} \approx 38.43 \, \text{см}.)

Итак, периметр равнобокой трапеции с высотой 9 см и боковой стороной 12 см составляет примерно 38.43 см.

Периметр трапеции равен 42 см.