Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание равно, 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. Только не теоремой Герона, решить как за 8 класс.
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание равно, 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. Только не теоремой Герона, решить как за 8 класс.
Для начала найдем половину основания равнобедренного треугольника, это будет равно 12 см, так как треугольник равнобедренный. Теперь по теореме Пифагора найдем высоту треугольника, проведенную к основанию:
(a^2 = c^2 - b^2)
(9^2 = h^2 - 12^2)
(81 = h^2 - 144)
(h^2 = 225)
(h = 15) см
Теперь найдем радиус вписанной окружности. Он равен (r = \frac{S}{p}), где S - площадь треугольника, а p - полупериметр треугольника.
Площадь треугольника равна (S = \frac{1}{2} \times 24 \times 15 = 180) см²
Полупериметр треугольника равен (p = \frac{24 + 24 + 9}{2} = 27) см
Итак, радиус вписанной окружности равен (r = \frac{180}{27} = 6,67) см
Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой (R = \frac{abc}{4S}), где R - радиус описанной окружности, а a, b, c - стороны треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны 24 см, а третья сторона (основание) равна 24 см.
Подставляем значения:
(R = \frac{24 \times 24 \times 24}{4 \times 180} = 16) см
Итак, радиус вписанной окружности равен 6,67 см, а радиус описанной окружности равен 16 см.
Радиус вписанной окружности равен 3 см, радиус описанной окружности равен 6 см.
Для решения задачи используем свойства равнобедренного треугольника. Пусть основание равнобедренного треугольника ( AB ) имеет длину 24 см, а высота ( h ), проведенная к основанию, равна 9 см. Высота также является медианой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный.
Высота делит основание ( AB ) на две равные части по 12 см каждая. Таким образом, у нас получается два прямоугольных треугольника ( ACH ) и ( BCH ), где ( H ) - точка пересечения высоты с основанием. По теореме Пифагора находим боковую сторону ( AC ) (и ( BC ), так как они равны): [ AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, \text{см} ]
Радиус ( R ) описанной около треугольника окружности для любого треугольника можно найти по формуле: [ R = \frac{abc}{4S} ] где ( a, b, c ) - стороны треугольника, а ( S ) - его площадь. Здесь ( a = b = 15 \, \text{см} ), ( c = 24 \, \text{см} ), а площадь ( S ) равнобедренного треугольника можно найти как: [ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108 \, \text{см}^2 ] Тогда: [ R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 24}{4 \cdot 108} = \frac{5400}{432} = 12.5 \, \text{см} ]
Радиус ( r ) вписанной окружности можно найти через площадь ( S ) и полупериметр ( p ) треугольника: [ r = \frac{S}{p} ] [ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = 27 \, \text{см} ] [ r = \frac{108}{27} = 4 \, \text{см} ]
Радиус вписанной окружности равен 4 см, а радиус описанной окружности равен 12.5 см.
