Высота правильной четырехугольной пирамиды равна корень из 6 см, а боковое р ебро наклонено к плоскости...

Для решения этой задачи начнем с определения длины бокового ребра пирамиды.

а) Найдем боковое ребро пирамиды. Поскольку боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов, а высота пирамиды известна и равна ( \sqrt{6} ) см, можно использовать тригонометрическую функцию для нахождения длины боковой стороны.

Пусть боковое ребро равно ( l ). Тогда из тригонометрии: [ \sin 60^\circ = \frac{\text{высота}}{l} ] [ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{6}}{l} ] [ l = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} ] [ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ l = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{18}}{3} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6} \, \text{см} ]

б) Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Пирамида правильная четырехугольная, значит, основание — квадрат. Все четыре боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Для площади одного такого треугольника справедливо: [ S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание треугольника} \cdot \text{высота треугольника} ]

Основание каждого треугольника — это сторона квадрата основания пирамиды. Вычислим её, используя факт, что центральное ребро, высота пирамиды, и радиус вписанной окружности образуют прямоугольный треугольник, где радиус окружности равен половине стороны квадрата: [ r = \frac{a}{2} ] [ \sqrt{h^2 + r^2} = l ] [ \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\frac{a}{2})^2} = 2\sqrt{6} ] [ \sqrt{6 + \frac{a^2}{4}} = 2\sqrt{6} ] [ 6 + \frac{a^2}{4} = 24 ] [ \frac{a^2}{4} = 18 ] [ a^2 = 72 ] [ a = 6\sqrt{2} \, \text{см} ]

Высота каждого бокового треугольника — это высота пирамиды, то есть ( \sqrt{6} ) см. Таким образом, площадь одного бокового треугольника: [ S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Так как боковых треугольников четыре: [ S_{\text{боков}} = 4 \cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Ответы: а) Боковое ребро пирамиды равно ( 2\sqrt{6} ) см. б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна ( 36\sqrt{3} ) см².

a) Для нахождения бокового ребра пирамиды можно воспользоваться теоремой косинусов. Пусть боковое ребро обозначено как а. Тогда, по теореме косинусов, имеем: а^2 = h^2 + (0.5 a)^2 - 2 h 0.5 a cos(60°) а^2 = 6 + 0.25a^2 - 3a 0.75*a^2 - 3a - 6 = 0 a^2 - 4a - 8 = 0 (a - 2)(a - 2) = 0 a = 2

Ответ: боковое ребро пирамиды равно 2 см.

b) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды можно воспользоваться формулой S = 0.5 a p, где a - боковое ребро, p - периметр основания пирамиды. Поскольку у нас правильная пирамида, то периметр основания равен 4 a (где a - длина стороны основания). Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды: S = 0.5 2 4 2 = 8 см^2

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 8 квадратным сантиметрам.