Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см а сторона ее основания 12 см . вычислите : а)...

Для решения задачи нам нужно найти боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды и площадь её полной поверхности.

Данные:

• Высота пирамиды ( h = 8 ) см
• Сторона основания ( a = 12 ) см

Шаг 1: Найти длину бокового ребра

Пояснение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота пирамиды ( h ) опускается из вершины пирамиды перпендикулярно к центру основания. Центр основания — это точка пересечения диагоналей квадрата.

Диагонали квадрата разрезают его на четыре равных прямоугольных треугольника. Половина диагонали квадрата будет образовывать одно из катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого будет боковым ребром пирамиды.

Шаг 1.1: Найти диагональ квадрата

Диагональ квадрата ( d ) можно найти по формуле: [ d = a \sqrt{2} ]

Подставим известное значение стороны основания ( a = 12 ) см: [ d = 12 \sqrt{2} ]

Половина диагонали: [ \frac{d}{2} = \frac{12 \sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{2} ]

Шаг 1.2: Использовать теорему Пифагора для нахождения бокового ребра

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:

• Одним катетом будет половина диагонали основания ( 6 \sqrt{2} ),
• Другим катетом будет высота пирамиды ( 8 ) см,
• Гипотенуза будет боковым ребром ( l ).

Применим теорему Пифагора: [ l = \sqrt{(6 \sqrt{2})^2 + 8^2} ] [ l = \sqrt{72 + 64} ] [ l = \sqrt{136} ] [ l = \sqrt{4 \cdot 34} ] [ l = 2 \sqrt{34} ]

Таким образом, длина бокового ребра равна ( 2 \sqrt{34} ) см.

Шаг 2: Найти площадь полной поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади четырех боковых треугольных граней.

Шаг 2.1: Найти площадь основания

Основание — квадрат со стороной ( a ): [ S{основания} = a^2 ] [ S{основания} = 12^2 = 144 \text{ см}^2 ]

Шаг 2.2: Найти площадь одной боковой грани

Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием ( a ) и боковыми сторонами ( l ).

Высоту боковой грани (апофему) ( h{боковой} ) можно найти по формуле: [ h{боковой} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} ] [ h{боковой} = \sqrt{(2 \sqrt{34})^2 - 6^2} ] [ h{боковой} = \sqrt{136 - 36} ] [ h{боковой} = \sqrt{100} ] [ h{боковой} = 10 \text{ см} ]

Площадь одной боковой грани: [ S{боковой} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту ] [ S{боковой} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 ] [ S_{боковой} = 60 \text{ см}^2 ]

Шаг 2.3: Найти площадь всех боковых граней

Так как таких граней четыре: [ S_{боковых} = 4 \cdot 60 = 240 \text{ см}^2 ]

Шаг 2.4: Найти площадь полной поверхности

Полная площадь поверхности пирамиды: [ S{полной} = S{основания} + S{боковых} ] [ S{полной} = 144 + 240 ] [ S_{полной} = 384 \text{ см}^2 ]

Ответ:

а) Длина бокового ребра пирамиды: ( 2 \sqrt{34} ) см б) Площадь полной поверхности пирамиды: 384 см²

a) Для вычисления длины бокового ребра пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Высота пирамиды является высотой треугольника, образованного боковой гранью, боковым ребром и половиной основания. Этот треугольник является прямоугольным, поэтому можем записать: (a^2 = h^2 + (\frac{s}{2})^2), где (a) - длина бокового ребра, (h) - высота пирамиды, (s) - сторона основания. Подставляя известные значения, получаем: (a^2 = 8^2 + (\frac{12}{2})^2), (a^2 = 64 + 36), (a^2 = 100), (a = 10) см.

б) Для вычисления площади полной поверхности пирамиды, сложим площадь основания с площадью боковой поверхности. Площадь основания равна площади квадрата со стороной 12 см: (S{\text{осн}} = s^2 = 12^2 = 144) см². Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле (S{\text{бок}} = \frac{ps}{2}), где (p) - периметр основания, (s) - длина бокового ребра. Периметр квадрата, основания пирамиды, равен (4s = 4 \cdot 12 = 48) см. Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: (S{\text{бок}} = \frac{48 \cdot 10}{2} = 240) см². Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и боковой поверхности: (S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} = 144 + 240 = 384) см².