Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16, сторона её основания -24 см. Вычислите : а) длину...

Для определения длины бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды и площади ее боковой поверхности, необходимо воспользоваться некоторыми основными геометрическими формулами и понятиями.

Длина бокового ребра пирамиды

1. Высота пирамиды (h): 16 см.
2. Сторона основания (a): 24 см.

Основание пирамиды — квадрат. Центр основания квадрата (точка пересечения диагоналей) находится на одной вертикальной линии с вершиной пирамиды. Назовем эту вершину V, а центр основания — O. Тогда линия VO — это высота пирамиды, равная 16 см.

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке O. Длина диагонали квадрата, сторона которого равна a, вычисляется по формуле:

[ d = a \sqrt{2} ]

Подставив значение a = 24 см:

[ d = 24 \sqrt{2} ]

Половина диагонали (расстояние от центра O до любой вершины основания) равна:

[ \frac{d}{2} = \frac{24 \sqrt{2}}{2} = 12 \sqrt{2} ]

Теперь мы рассмотрим прямоугольный треугольник VOM, где M — вершина основания. В этом треугольнике VO — высота пирамиды (16 см), OM — половина диагонали основания (12√2 см), а гипотенуза VM — боковое ребро пирамиды.

Используем теорему Пифагора:

[ VM^2 = VO^2 + OM^2 ]

Подставим известные значения:

[ VM^2 = 16^2 + (12\sqrt{2})^2 ]

[ VM^2 = 256 + 288 ]

[ VM^2 = 544 ]

Тогда боковое ребро VM:

[ VM = \sqrt{544} = \sqrt{16 \cdot 34} = 4\sqrt{34} ]

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды составляет ( 4 \sqrt{34} ) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре равнобедренных треугольника как боковые грани. Площадь одного такого треугольника можно найти, зная основание и высоту треугольника.

Высота боковой грани треугольника — это высота, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. Назовем её H. Треугольник VAM, где A — середина стороны основания, является прямоугольным. В нём VA — боковое ребро, а AM — половина стороны основания (12 см).

Площадь боковой грани:

[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота ]

Основание треугольника — сторона основания пирамиды a (24 см). Высота H треугольника VAM:

Используем теорему Пифагора:

[ VM^2 = VA^2 + AM^2 ]

Подставим значения:

[ (4\sqrt{34})^2 = H^2 + 12^2 ]

[ 544 = H^2 + 144 ]

[ H^2 = 400 ]

[ H = \sqrt{400} = 20 ]

Площадь одного треугольника:

[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 20 = 240 ]

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех таких треугольников:

[ S_{\text{боковая поверхность}} = 4 \cdot 240 = 960 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет 960 см².

Для начала найдем радиус вписанной в основание пирамиды окружности. Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник: r = a / (2 tg(π/n)), где a - длина стороны многоугольника, n - количество сторон. Для четырехугольника получим r = 24 / (2 tg(π/4)) ≈ 8.49 см.

Теперь найдем высоту боковой грани пирамиды, которая также является радиусом вписанной окружности: h = √(16^2 - 8.49^2) ≈ 14.23 см.

Далее, найдем длину бокового ребра пирамиды по теореме Пифагора: l = √(h^2 + r^2) ≈ √(14.23^2 + 8.49^2) ≈ 16.82 см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности пирамиды: Sб = (периметр основания l) / 2 = (4 24 * 16.82) / 2 = 321.12 см^2.

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды составляет примерно 16.82 см, а площадь боковой поверхности пирамиды равна примерно 321.12 см^2.

а) Для вычисления длины бокового ребра пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора. По формуле: ( a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2} ), где h - высота пирамиды, s - сторона основания. Подставляем значения: ( a = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 ) см.

б) Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле: ( S = \frac{1}{2} \cdot p \cdot a ), где p - периметр основания, a - длина бокового ребра. Периметр основания равен: ( p = 4 \cdot 24 = 96 ) см. Подставляем значения: ( S = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 20 = 960 ) кв. см.