Высота конуса равна 6см, угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найти площадь боковой поверхности...

Для нахождения площади боковой поверхности конуса необходимо воспользоваться формулой: Sб = π R l, где R - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Для начала найдем образующую конуса по формуле: l = √(h^2 + R^2), где h - высота конуса.

l = √(6^2 + R^2) = √(36 + R^2)

Так как у нас дан угол при вершине осевого сечения равный 60 градусов, то l = R * √3, где R - радиус основания.

R * √3 = √(36 + R^2)

R^2 * 3 = 36 + R^2

2R^2 = 36

R = √18 = 3√2

Теперь подставим найденное значение радиуса в формулу для образующей:

l = √(36 + (3√2)^2) = √(36 + 18) = √54 = 3√6

Теперь можем найти площадь боковой поверхности конуса:

Sб = π R l = π 3√2 3√6 = 9π√12 = 18π√3 см^2

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна 18π√3 см^2.

Для решения задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности конуса. Для начала определим все необходимые элементы конуса.

1. Высота конуса (h) дана: ( h = 6 ) см.

2. Угол при вершине осевого сечения (2α) равен 60 градусам: ( 2\alpha = 60^\circ ), следовательно, ( \alpha = 30^\circ ).

В осевом сечении конус выглядит как равнобедренный треугольник, где высота конуса является высотой этого треугольника, а углы при основании равны ( \alpha ).

1. Найдем радиус основания (r) и образующую (l) конуса.

   В осевом сечении радиус основания ( r ) и высота ( h ) образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой ( l ) (образующая конуса). Используем тригонометрические функции для нахождения ( r ) и ( l ).

   Треугольник в осевом сечении делится высотой на два одинаковых прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников с углом ( \alpha = 30^\circ ).

   В прямоугольном треугольнике: [ \tan(\alpha) = \frac{r}{h} ] Подставим известные значения: [ \tan(30^\circ) = \frac{r}{6} ] [ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{6} ] [ r = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см} ]

2. Найдем образующую ( l ):

   Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза ( l ), а катеты ( h ) и ( r ): [ l = \sqrt{h^2 + r^2} ] Подставим найденные значения: [ l = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{см} ]

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса:

   Площадь боковой поверхности ( S{\text{бок}} ) конуса вычисляется по формуле: [ S{\text{бок}} = \pi r l ] Подставим найденные значения: [ S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24\pi \, \text{см}^2 ]

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна ( 24\pi ) квадратных сантиметров.