Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30...

Для решения этой задачи, давайте разберемся с геометрией цилиндра и его осевого сечения.

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через ось цилиндра, то есть через его высоту и диаметры оснований. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра ( h ), а другая сторона равна диаметру основания цилиндра ( 2R ), где ( R ) — радиус основания цилиндра.

Дано:

• Высота цилиндра ( h = 8 ) см.
• Диагональ осевого сечения цилиндра образует с плоскостью основания угол ( 30^\circ ).

Обозначим диагональ осевого сечения как ( d ). В прямоугольнике, который является осевым сечением, диагональ ( d ) может быть найдена по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{h^2 + (2R)^2} ]

Также известно, что диагональ ( d ) образует угол ( 30^\circ ) с плоскостью основания. В данном случае, плоскостью основания является горизонтальная плоскость, а угол между диагональю и этой плоскостью — это угол между диагональю и проекцией диагонали на основание цилиндра. Проекция диагонали на основание — это диаметр основания цилиндра ( 2R ).

Таким образом, имеем треугольник, в котором угол между диагональю и диаметром основания равен ( 30^\circ ). В этом треугольнике: [ \cos(30^\circ) = \frac{диаметр}{диагональ} = \frac{2R}{d} ]

Поскольку (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), мы можем записать: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2R}{d} ] [ d = \frac{4R}{\sqrt{3}} ]

Подставим ( d ) в уравнение, полученное по теореме Пифагора: [ \left( \frac{4R}{\sqrt{3}} \right)^2 = h^2 + (2R)^2 ] [ \frac{16R^2}{3} = h^2 + 4R^2 ] Подставим ( h = 8 ) см: [ \frac{16R^2}{3} = 64 + 4R^2 ] Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби: [ 16R^2 = 192 + 12R^2 ] Переносим все члены с ( R^2 ) в одну сторону: [ 16R^2 - 12R^2 = 192 ] [ 4R^2 = 192 ] [ R^2 = 48 ] [ R = \sqrt{48} ] [ R = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

Теперь найдем площадь осевого сечения цилиндра, которая является площадью прямоугольника со сторонами ( h ) и ( 2R ): [ Площадь = h \times 2R ] [ Площадь = 8 \times 2 \times 4\sqrt{3} ] [ Площадь = 8 \times 8\sqrt{3} ] [ Площадь = 64\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Итак, ответы на задачу:

1. Радиус основания цилиндра ( R = 4\sqrt{3} \text{ см} ).
2. Площадь осевого сечения цилиндра ( 64\sqrt{3} \text{ см}^2 ).

1) Для нахождения радиуса основания цилиндра можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю осевого сечения, высотой и радиусом. Пусть радиус основания цилиндра равен r. Тогда, согласно теореме Пифагора, получаем: r^2 + 8^2 = (2r)^2 r^2 + 64 = 4r^2 64 = 3r^2 r^2 = 64 / 3 r = √(64 / 3) r = 4√3 см

2) Площадь осевого сечения цилиндра можно найти, используя формулу для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = 0.5 a b sin(угол) Где a и b - стороны треугольника (в данном случае диагональ и радиус), угол - угол между этими сторонами (30 градусов). Площадь осевого сечения цилиндра равна: S = 0.5 2r 8 sin(30°) S = 8r sin(30°) S = 8 4√3 sin(30°) S = 32√3 0.5 S = 16√3 см^2

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 4√3 см, а площадь осевого сечения цилиндра равна 16√3 см^2.