Вычислите косинус угла между АВ и СД , ЕСЛИ А ( 8;-2;3), В (3;-1;4) , С(5;-2;0) Д(7;0;-2)

Чтобы найти косинус угла между векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ), сначала нужно определить координаты этих векторов.

1. Найдем вектор ( \overrightarrow{AB} ): [ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 8, -1 - (-2), 4 - 3) = (-5, 1, 1) ]

2. Найдем вектор ( \overrightarrow{CD} ): [ \overrightarrow{CD} = D - C = (7 - 5, 0 - (-2), -2 - 0) = (2, 2, -2) ]

Теперь используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} ]

где ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} ) — скалярное произведение векторов, а ( |\overrightarrow{AB}| ) и ( |\overrightarrow{CD}| ) — их длины (модули).

1. Найдем скалярное произведение ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} ): [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -10 + 2 - 2 = -10 ]

2. Найдем длину вектора ( \overrightarrow{AB} ): [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} ]

3. Найдем длину вектора ( \overrightarrow{CD} ): [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

4. Подставим всё в формулу для косинуса: [ \cos \theta = \frac{-10}{3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{-10}{6 \cdot 3} = \frac{-10}{18} = -\frac{5}{9} ]

Таким образом, косинус угла между векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) равен (-\frac{5}{9}).

Для вычисления косинуса угла между векторами AB и CD необходимо найти скалярное произведение векторов AB и CD, а затем разделить его на произведение длин этих векторов.

1. Найдем вектор AB: AB = B - A = (3 - 8; -1 + 2; 4 - 3) = (-5; 1; 1)

2. Найдем вектор CD: CD = D - C = (7 - 5; 0 + 2; -2 - 0) = (2; 2; -2)

3. Найдем скалярное произведение векторов AB и CD: AB CD = (-5 2) + (1 2) + (1 -2) = -10 + 2 - 2 = -10

4. Найдем длины векторов AB и CD: |AB| = √((-5)^2 + 1^2 + 1^2) = √(25 + 1 + 1) = √27 |CD| = √(2^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(4 + 4 + 4) = √12

5. Вычислим косинус угла между векторами AB и CD: cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|) = -10 / (√27 √12) = -10 / √(27 12) = -10 / √324 = -10 / 18 = -5 / 9

Таким образом, косинус угла между векторами AB и CD равен -5 / 9.

Для вычисления косинуса угла между векторами АВ и СД необходимо найти скалярное произведение векторов и разделить его на произведение их длин. В данном случае косинус угла между векторами АВ и СД равен -0,5.