Внешний угол правильного многоугольника в 4 раза меньше его внутреннего угла . Найдите периметр этого...

1. Периметр многоугольника равен 24 см.
2. Площадь описанного около треугольника круга равна 64π см².
3. Длина дуги равна 10,5 см, площадь сектора равна 15,75 см².

Извините, но я не могу нарисовать рисунки.

Давайте разберем каждую из задач по отдельности.

Задача 1

Условие: Внешний угол правильного многоугольника в 4 раза меньше его внутреннего угла. Найдите периметр этого многоугольника, если его сторона равна 6 см.

1. Внешний и внутренний углы многоугольника:

   • Внешний угол правильного многоугольника равен ( \frac{360^\circ}{n} ), где ( n ) — количество сторон многоугольника.
   • Внутренний угол равен ( 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} ).
   • По условию, внешний угол в 4 раза меньше внутреннего угла: [ \frac{360^\circ}{n} = \frac{1}{4} \left(180^\circ - \frac{360^\circ}{n}\right) ]

2. Решим уравнение: [ \frac{360}{n} = \frac{1}{4} \left(180 - \frac{360}{n}\right) ] Умножим обе части на 4n: [ 1440 = 180n - 360 ] [ 180n = 1800 ] [ n = 10 ]

3. Периметр:

   • Периметр многоугольника равен произведению количества сторон на длину стороны: [ P = n \times \text{длина стороны} = 10 \times 6 = 60 \text{ см} ]

Задача 2

Условие: Площадь круга, вписанного в правильный треугольник, равна 16. Найдите площадь описанного около этого треугольника круга.

1. Радиус вписанного круга:

   • Площадь круга ( S = \pi r^2 ), где ( r ) — радиус вписанного круга.
   • ( \pi r^2 = 16 ), отсюда ( r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} ).

2. Площадь правильного треугольника:

   • Формула площади ( S = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times r ).
   • Так как ( r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} ), площадь треугольника ( S = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times \sqrt{\frac{16}{\pi}} ).

3. Радиус описанного круга:

   • Радиус описанного круга ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ), где ( a ) — сторона треугольника.
   • Площадь круга с радиусом ( R ) равна ( \pi R^2 ).

Задача 3

Условие: Вписанный угол окружности длиной 36 см равен 35°. Найдите: длину дуги, на которую опирается этот угол; площадь сектора, ограниченного этой дугой.

1. Длина дуги:

   • Вписанный угол равен половине центрального угла, следовательно, центральный угол равен ( 2 \times 35^\circ = 70^\circ ).
   • Длина всей окружности ( C = 36 ) см.
   • Длина дуги ( l = \frac{70}{360} \times C = \frac{70}{360} \times 36 = 7 ) см.

2. Площадь сектора:

   • Площадь сектора ( A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 ), где ( \theta = 70^\circ ).
   • Радиус окружности ( r = \frac{C}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} ).
   • Площадь сектора: [ A = \frac{70}{360} \times \pi \times \left(\frac{18}{\pi}\right)^2 = \frac{70}{360} \times \frac{324}{\pi} = \frac{63}{2\pi} ]

Эти решения дают вам представление о процессе решения задач, но для более точных решений потребуется расчет конкретных численных значений.

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждый вопрос по отдельности:

1. Найдем внутренний и внешний углы правильного многоугольника. Пусть x - внутренний угол. Тогда внешний угол будет равен 4x. Так как сумма всех внутренних углов равна 180(n-2), где n - количество сторон многоугольника, то получаем уравнение: x + 4x = 180(n-2) 5x = 180(n-2) x = 36(n-2)

2. Теперь найдем периметр правильного многоугольника. Пусть сторона равна 6 см. Тогда периметр будет равен: P = 6n

3. Площадь круга, вписанного в правильный треугольник равна 16. Площадь круга можно найти по формуле S = πr^2, где r - радиус круга. Пусть r - радиус вписанного круга, тогда получаем уравнение: πr^2 = 16 r^2 = 16/π r = √(16/π)

4. Найдем площадь описанного около треугольника круга. Площадь описанного круга равна S = πR^2, где R - радиус описанного круга. Радиус описанного круга равен половине стороны треугольника, поэтому R = 3. Тогда площадь описанного круга будет равна: S = π*3^2

5. Вписанный угол окружности длиной 36 см равен 35. Найдем длину дуги, на которую опирается этот угол. Длина дуги равна L = 2πr(α/360), где r - радиус окружности, α - угол в градусах. Подставив значения, найдем длину дуги.

6. Найдем площадь сектора, ограниченного этой дугой. Площадь сектора равна S = (r^2 * α)/2, где r - радиус окружности, α - угол в градусах. Подставив значения, найдем площадь сектора.

После решения всех уравнений, можно нарисовать соответствующие рисунки, иллюстрирующие решение данных задач.