) Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости \beta . Вершина А ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости \beta .
) Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости \beta . Вершина А ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости \beta .
Для начала обозначим середины отрезков АВ и АС как М и N соответственно. Так как М и N являются серединами отрезков, то они делят эти отрезки пополам и, следовательно, МВ = ВМ и МС = СМ.
Теперь предположим, что прямая МN не параллельна плоскости β. Тогда существует точка D, принадлежащая прямой МN, которая лежит в плоскости β. Так как D принадлежит прямой МN, то D также является серединой отрезка MN.
Рассмотрим теперь треугольник AMD. Так как D лежит в плоскости β, а вершины A и М также лежат в этой плоскости, то треугольник AMD лежит в плоскости β. Но по условию вершина А не принадлежит плоскости β, следовательно, прямая МN не может пересекать плоскость β, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости β.
Рассмотрим треугольник ( ABC ), в котором вершины ( B ) и ( C ) лежат в плоскости (\beta), а вершина ( A ) не принадлежит этой плоскости. Требуется доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков ( AB ) и ( AC ), параллельна плоскости (\beta).
Обозначим середину отрезка ( AB ) как ( M ), а середину отрезка ( AC ) как ( N ). Нам нужно доказать, что прямая ( MN ) параллельна плоскости (\beta).
Рассмотрим векторы: Вектор ( \vec{AB} ) лежит в плоскости (\beta), так как точки ( A ) и ( B ) определяют этот вектор, а точка ( B ) принадлежит плоскости (\beta). Аналогично, вектор ( \vec{AC} ) также лежит в плоскости (\beta).
Медианы треугольника: Пусть ( M ) — середина отрезка ( AB ), а ( N ) — середина отрезка ( AC ). Тогда точки ( M ) и ( N ) делят отрезки ( AB ) и ( AC ) пополам.
Средняя линия: Прямая ( MN ) является средней линией треугольника ( ABC ), которая соединяет середины двух сторон треугольника. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна половине её длины.
Параллельность средней линии: В данном случае третьей стороной треугольника является сторона ( BC ), которая лежит в плоскости (\beta). Поскольку ( MN ) параллельна ( BC ), а ( BC ) лежит в плоскости (\beta), то прямая ( MN ) также будет параллельна плоскости (\beta).
Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков ( AB ) и ( AC ) (прямая ( MN )), параллельна плоскости (\beta). Это следует из того, что ( MN ) является средней линией треугольника ( ABC ), и средней линии треугольника параллельны стороне, лежащей в плоскости (\beta).
Пусть M и N - середины отрезков AB и AC соответственно. Так как M и N лежат в плоскости \beta, то прямая MN также лежит в этой плоскости. Поскольку прямая MN проходит через середины отрезков AB и AC, то она параллельна отрезку BC, следовательно, она параллельна плоскости \beta.
