) Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости \beta . Вершина А ей не принадлежит. Докажите, что...

Для начала обозначим середины отрезков АВ и АС как М и N соответственно. Так как М и N являются серединами отрезков, то они делят эти отрезки пополам и, следовательно, МВ = ВМ и МС = СМ.

Теперь предположим, что прямая МN не параллельна плоскости β. Тогда существует точка D, принадлежащая прямой МN, которая лежит в плоскости β. Так как D принадлежит прямой МN, то D также является серединой отрезка MN.

Рассмотрим теперь треугольник AMD. Так как D лежит в плоскости β, а вершины A и М также лежат в этой плоскости, то треугольник AMD лежит в плоскости β. Но по условию вершина А не принадлежит плоскости β, следовательно, прямая МN не может пересекать плоскость β, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости β.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором вершины $B$ и $C$ лежат в плоскости $\beta$, а вершина $A$ не принадлежит этой плоскости. Требуется доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, параллельна плоскости $\beta$.

Обозначим середину отрезка $AB$ как $M$, а середину отрезка $AC$ как $N$. Нам нужно доказать, что прямая $MN$ параллельна плоскости $\beta$.

Доказательство:

1. Рассмотрим векторы: Вектор $\overrightarrow{AB}$ лежит в плоскости $\beta$, так как точки $A$ и $B$ определяют этот вектор, а точка $B$ принадлежит плоскости $\beta$. Аналогично, вектор $\overrightarrow{AC}$ также лежит в плоскости $\beta$.

2. Медианы треугольника: Пусть $M$ — середина отрезка $AB$, а $N$ — середина отрезка $AC$. Тогда точки $M$ и $N$ делят отрезки $AB$ и $AC$ пополам.

3. Средняя линия: Прямая $MN$ является средней линией треугольника $ABC$, которая соединяет середины двух сторон треугольника. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

4. Параллельность средней линии: В данном случае третьей стороной треугольника является сторона $BC$, которая лежит в плоскости $\beta$. Поскольку $MN$ параллельна $BC$, а $BC$ лежит в плоскости $\beta$, то прямая $MN$ также будет параллельна плоскости $\beta$.

Заключение:

Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$ $прямая(MN$), параллельна плоскости $\beta$. Это следует из того, что $MN$ является средней линией треугольника $ABC$, и средней линии треугольника параллельны стороне, лежащей в плоскости $\beta$.

Пусть M и N - середины отрезков AB и AC соответственно. Так как M и N лежат в плоскости \beta, то прямая MN также лежит в этой плоскости. Поскольку прямая MN проходит через середины отрезков AB и AC, то она параллельна отрезку BC, следовательно, она параллельна плоскости \beta.