вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: A ( 8; -3 ) , B (5;1) , С ( 12; 0) Докажите, что ∟ В = ∟ С Решите пожалуйста .
вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: A ( 8; -3 ) , B (5;1) , С ( 12; 0) Докажите, что ∟ В = ∟ С Решите пожалуйста .
Для доказательства того, что угол B равен углу C, нам необходимо вычислить углы треугольника ABC.
Для этого можно воспользоваться формулой косинусов, которая позволяет нам найти углы треугольника по координатам его вершин.
Пусть угол A = ∟ А, угол B = ∟ В, угол C = ∟ С.
Для вычисления угла A воспользуемся формулой косинусов: cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc, где a, b, c - стороны треугольника, соответствующие углам A, B, C, соответственно.
Вычисляем стороны треугольника: AB = sqrt((5-8)^2 + (1+3)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5, BC = sqrt((12-5)^2 + (0-1)^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5√2, AC = sqrt((12-8)^2 + (0+3)^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5.
Теперь находим угол A: cos A = (5^2 + 5^2 - 5^2) / (255√2) = 25 / (10√2) = 5 / (2√2). A = arccos (5 / (2√2)) ≈ 45°.
Аналогично вычисляем угол B и угол C: cos B = (5^2 + 5√2^2 - 5^2) / (255) = 25√2 / 50 = √2 / 2, B = arccos (√2 / 2) ≈ 45°, cos C = (5√2^2 + 5^2 - 5^2) / (25√25) = 25√2 / (10√2) = 5 / 2, C = arccos (5 / 2) ≈ 60°.
Таким образом, углы треугольника ABC равны: A ≈ 45°, B ≈ 45°, C ≈ 60°.
Исходя из вычислений, мы видим, что угол B равен углу C.
Для доказательства того, что углы B и C треугольника ABC равны, можно показать, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Для этого необходимо доказать, что длины сторон AB и BC равны.
Рассчитаем длину стороны AB. Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(5 - 8)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. ]
Теперь рассчитаем длину стороны BC: [ BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} = \sqrt{(12 - 5)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. ]
Рассчитаем длину стороны AC: [ AC = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} = \sqrt{(12 - 8)^2 + (0 + 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. ]
Из полученных значений видно, что длины сторон AB и AC равны (обе равны 5), следовательно, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠B = ∠C.
Таким образом, доказано, что углы B и C в треугольнике ABC равны.
