Вершины треугольника АВС делят окружность, на три дуги АВ, ВС и АС, градусные меры которых относятся...

Для решения задачи сначала найдем градусные меры дуг окружности, которые делят вершины треугольника ( \triangle ABC ).

Пусть суммарная градусная мера окружности равна ( 360^\circ ). Согласно условию задачи, градусные меры дуг ( AB ), ( BC ), и ( CA ) относятся как 5:6:7.

Обозначим градусную меру дуги ( AB ) как ( 5x ), дуги ( BC ) как ( 6x ), и дуги ( CA ) как ( 7x ). Тогда у нас есть следующее уравнение:

[ 5x + 6x + 7x = 360^\circ. ]

Сложим коэффициенты:

[ 18x = 360^\circ. ]

Теперь решим уравнение относительно ( x ):

[ x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ. ]

Теперь мы можем найти градусные меры каждой из дуг:

• Дуга ( AB ) равна ( 5x = 5 \times 20^\circ = 100^\circ ).
• Дуга ( BC ) равна ( 6x = 6 \times 20^\circ = 120^\circ ).
• Дуга ( CA ) равна ( 7x = 7 \times 20^\circ = 140^\circ ).

По теореме о вписанном угле, угол, вписанный в окружность и опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги. Таким образом, для углов треугольника ( \triangle ABC ) мы получаем:

• Угол ( \angle A ) опирается на дугу ( BC ), значит ( \angle A = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ ).
• Угол ( \angle B ) опирается на дугу ( CA ), значит ( \angle B = \frac{1}{2} \times 140^\circ = 70^\circ ).
• Угол ( \angle C ) опирается на дугу ( AB ), значит ( \angle C = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ ).

Таким образом, градусные меры углов треугольника ( \triangle ABC ) равны ( 60^\circ ), ( 70^\circ ), и ( 50^\circ ). Проверим, что сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ):

[ 60^\circ + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ. ]

Все верно. Ответ: углы треугольника ( \triangle ABC ) равны ( 60^\circ ), ( 70^\circ ), и ( 50^\circ ).

Для решения этой задачи нам необходимо знать, что угол, соответствующий дуге на окружности, равен половине меры этой дуги. Таким образом, угол между сторонами треугольника АВС, противолежащий дуге АВ, равен 5/2 = 2.5 угловым градусам, угол противолежащий дуге ВС, равен 6/2 = 3 угловым градусам, и угол противолежащий дуге АС, равен 7/2 = 3.5 угловым градусам.

Таким образом, углы треугольника АВС равны 2.5°, 3° и 3.5°.