Вершины треугольника ABC имеют координаты A(m;-3;2) B(9;-1;3) C(12;-5;-1). Определить значения m, при...

Чтобы определить значения ( m ), при которых угол ( C ) в треугольнике ( ABC ) тупой, необходимо использовать векторный подход и скалярное произведение векторов.

Для начала найдём векторы ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

1. Вектор ( \overrightarrow{BC} ): [ \overrightarrow{BC} = (12 - 9, -5 - (-1), -1 - 3) = (3, -4, -4) ]

2. Вектор ( \overrightarrow{AC} ): [ \overrightarrow{AC} = (12 - m, -5 - (-3), -1 - 2) = (12 - m, -2, -3) ]

Угол ( C ) будет тупым тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{AC} ) будет отрицательным. Скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3) ) и ( \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3) ) вычисляется по формуле: [ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 ]

Применим эту формулу для наших векторов: [ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = (3) \cdot (12 - m) + (-4) \cdot (-2) + (-4) \cdot (-3) ] [ = 3(12 - m) + (-4)(-2) + (-4)(-3) ] [ = 3(12 - m) + 8 + 12 ] [ = 36 - 3m + 20 ] [ = 56 - 3m ]

Для того чтобы угол ( C ) был тупым, нужно: [ 56 - 3m < 0 ]

Решаем это неравенство: [ 56 < 3m ] [ m > \frac{56}{3} ] [ m > 18.\overline{6} ]

Таким образом, угол ( C ) будет тупым при значениях ( m ) таких, что: [ m > 18.\overline{6} ]

Для того чтобы угол C треугольника ABC был тупым, нужно чтобы скалярное произведение векторов AB и BC было отрицательным.

AB = B - A = (9 - m; -1 + 3; 3 - 2) = (9 - m; 2; 1) BC = C - B = (12 - 9; -5 + 1; -1 - 3) = (3; -4; -4)

AB * BC = (9 - m)(3) + 2(-4) + 1(-4) = 27 - 3m - 8 - 4 = 15 - 3m

Для того чтобы угол C был тупым, значения скалярного произведения должны быть отрицательными, то есть 15 - 3m < 0. Отсюда получаем, что m > 5.

Для определения значения m, при котором угол C треугольника ABC будет тупым, необходимо вычислить косинус угла C и затем проверить его знак. Угол C будет тупым, если косинус этого угла будет отрицательным.

Для начала найдем векторы AB и AC, затем вычислим их скалярное произведение и длины, чтобы найти косинус угла C.

Вектор AB = B - A = (9 - m; -1 + 3; 3 - 2) = (9 - m; 2; 1) Вектор AC = C - A = (12 - m; -5 + 3; -1 - 2) = (12 - m; -2; -3)

Скалярное произведение векторов AB и AC: AB AC = (9 - m)(12 - m) + 2(-2) + 1*(-3) = 108 - 9m - 12m + m^2 - 4 - 3 = m^2 - 21m + 101

Длины векторов AB и AC: |AB| = sqrt((9 - m)^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt((81 - 18m + m^2) + 4 + 1) = sqrt(m^2 - 18m + 86) |AC| = sqrt((12 - m)^2 + (-2)^2 + (-3)^2) = sqrt((144 - 24m + m^2) + 4 + 9) = sqrt(m^2 - 24m + 157)

Косинус угла C: cos(C) = (AB AC) / (|AB| |AC|) = (m^2 - 21m + 101) / sqrt((m^2 - 18m + 86)(m^2 - 24m + 157))

Угол C будет тупым, если cos(C) < 0. Решив неравенство cos(C) < 0, мы найдем значения m, при которых угол C будет тупым.