Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С (-3; -1). Найдите: а) координаты середин...

Давайте рассмотрим каждую из частей задачи по очереди.

а) Координаты середин сторон треугольника

Чтобы найти координаты середины стороны треугольника, мы используем формулу для нахождения середины отрезка, заданного двумя точками ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)):

[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) ]

1. Середина стороны AB: [ A(-5, 13), B(3, 5) ] [ \left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{13 + 5}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{18}{2} \right) = (-1, 9) ]

2. Середина стороны BC: [ B(3, 5), C(-3, -1) ] [ \left( \frac{3 + (-3)}{2}, \frac{5 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{4}{2} \right) = (0, 2) ]

3. Середина стороны AC: [ A(-5, 13), C(-3, -1) ] [ \left( \frac{-5 + (-3)}{2}, \frac{13 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{-8}{2}, \frac{12}{2} \right) = (-4, 6) ]

б) Медиана, проведенная к стороне AC

Медиана, проведенная из вершины B к стороне AC, будет иметь координаты точки B и середины стороны AC. Мы уже нашли середину стороны AC: ((-4, 6)).

Теперь вычислим уравнение прямой, проходящей через точки (B(3, 5)) и ((-4, 6)). Для этого определим уравнение прямой через две точки:

Угловой коэффициент: [ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 5}{-4 - 3} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7} ]

Уравнение прямой: [ y - y_1 = k(x - x_1) ] Подставляем значения: [ y - 5 = -\frac{1}{7}(x - 3) ]

Приводим уравнение к стандартному виду: [ y - 5 = -\frac{1}{7}x + \frac{3}{7} ] [ y = -\frac{1}{7}x + \frac{3}{7} + 5 ] [ y = -\frac{1}{7}x + \frac{38}{7} ]

в) Средние линии треугольника

Средняя линия в треугольнике соединяет середины двух сторон. Найдем уравнения средних линий, используя найденные середины:

1. Средняя линия через середины AB и BC: Середины: (AB(-1, 9)) и (BC(0, 2))

   Угловой коэффициент: [ k = \frac{2 - 9}{0 - (-1)} = \frac{-7}{1} = -7 ]

   Уравнение: [ y - 9 = -7(x + 1) ] [ y = -7x - 7 + 9 ] [ y = -7x + 2 ]

2. Средняя линия через середины BC и AC: Середины: (BC(0, 2)) и (AC(-4, 6))

   Угловой коэффициент: [ k = \frac{6 - 2}{-4 - 0} = \frac{4}{-4} = -1 ]

   Уравнение: [ y - 2 = -1(x - 0) ] [ y = -x + 2 ]

3. Средняя линия через середины AC и AB: Середины: (AC(-4, 6)) и (AB(-1, 9))

   Угловой коэффициент: [ k = \frac{9 - 6}{-1 - (-4)} = \frac{3}{3} = 1 ]

   Уравнение: [ y - 6 = 1(x + 4) ] [ y = x + 4 + 6 ] [ y = x + 10 ]

Таким образом, мы нашли координаты середин сторон, уравнение медианы и уравнения средних линий треугольника.

а) Координаты середин сторон треугольника: AB: (-1; 9) BC: (0; 2) AC: (-4; 6)

б) Медиана, проведенная к стороне АС: Медиана проведенная к стороне АС проходит через точку с координатами (-1; 11)

в) Средние линии треугольника: Средняя линия, проходящая через середину стороны AB и вершину С: уравнение прямой y = 6x + 7 Средняя линия, проходящая через середину стороны BC и вершину A: уравнение прямой y = -4x + 17 Средняя линия, проходящая через середину стороны AC и вершину B: уравнение прямой y = 3x + 4

а) Чтобы найти координаты середины стороны треугольника, нужно взять среднее арифметическое координат вершин этой стороны.

Середина стороны AB: ((-5 + 3) / 2 ; (13 + 5) / 2) = (-1 ; 9) Середина стороны BC: ((3 - 3) / 2 ; (5 - 1) / 2) = (0 ; 2) Середина стороны AC: ((-5 - 3) / 2 ; (13 - 1) / 2) = (-4 ; 6)

б) Медиана, проведенная к стороне AC, проходит через середину этой стороны и вершину треугольника, не лежащую на этой стороне. Найдем координаты середины стороны AC (см. пункт а), а затем уравнение прямой, проходящей через эту середину и вершину В (3; 5).

Уравнение прямой, проходящей через точки (-4 ; 6) и (3 ; 5): y = kx + b 6 = k(-4) + b 5 = k3 + b

Решив систему уравнений, найдем k и b, затем уравнение медианы.

в) Средние линии треугольника проходят через середины его сторон. Найдем координаты середин всех сторон (см. пункт а), а затем уравнения прямых, проходящих через каждую пару середин.

Уравнения прямых, проходящих через середины сторон треугольника:

• AB и BC
• AB и AC
• BC и AC

Для каждой пары середин найдем уравнение прямой, проходящей через них.