Вершины ΔABC лежат на окружности с центром O, Угол ABC=80 градусов.Дуга BС : Дугу AB =3:2 Найти :Углы...

Для нахождения углов ΔAOB воспользуемся теоремой о центральном угле.

Так как угол ABC равен 80 градусов, то угол AOC (центральный угол, опирающийся на дугу AB) будет в два раза больше, то есть 160 градусов.

Теперь найдем угол AOB. Дуга BC в 3 раза больше дуги AB, следовательно, угол BOC будет в 3 раза больше угла AOC, то есть 480 градусов.

Таким образом, угол AOB равен 1/2*(360-80-480) = 100 градусов.

Итак, углы ΔAOB равны 160 и 100 градусов.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами вписанных и центральных углов окружности. Давайте разберем шаг за шагом:

1. Вписанные углы: Угол ( \angle ABC ) вписан в окружность и опирается на дугу ( AC ). По условию, ( \angle ABC = 80^\circ ).

2. Отношение дуг: Дано, что дуга ( BC : AB = 3:2 ). Это значит, что длины этих дуг пропорциональны 3 и 2 соответственно. Пусть длина дуги ( BC = 3x ), тогда длина дуги ( AB = 2x ).

3. Центральные углы: Центральный угол всегда равен углу, на который он опирается. Если дуга ( BC ) равна ( 3x ), то центральный угол ( \angle BOC ) будет равен ( 3x ) градусов. Аналогично, центральный угол ( \angle AOB ) будет равен ( 2x ) градусов.

4. Связь между центральными и вписанными углами: Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Следовательно, ( \angle AOC = 2 \times \angle ABC = 160^\circ ) (так как ( \angle ABC = 80^\circ )).

5. Выражение углов через ( x ): Мы знаем, что весь круг составляет ( 360^\circ ). Следовательно, сумма всех частей, на которые разбивается круг, то есть ( 3x + 2x + x = 360^\circ ).

6. Решение уравнения: Разделим круг на части: [ 3x + 2x + x = 360^\circ ] [ 6x = 360^\circ ] [ x = 60^\circ ]

7. Нахождение центральных углов: Теперь, зная значение ( x ):

   • Центральный угол ( \angle BOC = 3x = 180^\circ )
   • Центральный угол ( \angle AOB = 2x = 120^\circ )

Таким образом, углы ( \angle AOB = 120^\circ ).