Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А(-3;-1), В(1;2), С(5;-1), D(1;-4). Докажите,...

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является ромбом, нам необходимо проверить выполнение следующих условий:

1. Все стороны четырехугольника равны между собой.
2. Диагонали четырехугольника перпендикулярны между собой.

Для начала найдем длины сторон четырехугольника ABCD, используя формулу длины отрезка между двумя точками на плоскости:

AB = √((1 - (-3))^2 + (2 - (-1))^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

BC = √((5 - 1)^2 + (-1 - 2)^2) = √(4^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

CD = √((1 - 5)^2 + (-4 - (-1))^2) = √((-4)^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

DA = √((-3 - 1)^2 + (-1 - (-4))^2) = √((-4)^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны между собой, что соответствует условию ромба.

Теперь найдем диагонали четырехугольника ABCD:

AC = √((5 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2) = √(8^2 + 0) = 8

BD = √((1 - 1)^2 + (-4 - 2)^2) = √(0 + (-6)^2) = 6

Так как AC ≠ BD, диагонали четырехугольника ABCD не равны между собой, следовательно, данный четырехугольник не является ромбом.

Таким образом, четырехугольник ABCD не является ромбом.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD с данными вершинами является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны друг другу.

1. Рассчитаем длину стороны AB: Координаты точек A и B: A(-3, -1), B(1, 2).

   Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. ]

2. Рассчитаем длину стороны BC: Координаты точек B и C: B(1, 2), C(5, -1).

   [ BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. ]

3. Рассчитаем длину стороны CD: Координаты точек C и D: C(5, -1), D(1, -4).

   [ CD = \sqrt{(1 - 5)^2 + (-4 + 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. ]

4. Рассчитаем длину стороны DA: Координаты точек D и A: D(1, -4), A(-3, -1).

   [ DA = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-1 + 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. ]

Таким образом, длины всех сторон четырехугольника AB, BC, CD и DA равны 5. Это означает, что ABCD — это ромб, так как все его стороны равны.