Вершина A куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите...

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус сферы, проходящей через точку A1, которая имеет вершину в центре куба A. Радиус сферы равен половине диагонали куба, так как это расстояние от центра сферы до точки A1.

Диагональ куба равна √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3. Тогда радиус сферы равен 0.5 * √3 = √3 / 2.

Теперь найдем площадь S сегмента сферы, содержащегося внутри куба. Площадь сегмента сферы можно найти по формуле: S = 2πrh, где r - радиус сферы, h - высота сегмента.

Высоту сегмента можно найти из прямоугольного треугольника, образованного диагональю куба и радиусом сферы. Высота h равна √(1.6^2 - (√3 / 2)^2) = √(2.56 - 3 / 4) = √(10 / 4) = √2.5.

Теперь вычислим площадь S: S = 2 π √3 / 2 √2.5 = π √7.

Ответ: S/π = √7.

Рассмотрим куб (ABCDA_1B_1C_1D_1) с вершиной (A) в качестве центра сферы. Сторона куба равна 1,6. Нам необходимо найти площадь части сферы, которая содержится внутри куба, и записать её в виде (S/\pi).

1. Радиус сферы: Так как (A) — центр сферы, а (A_1) — точка на сфере, то радиус сферы равен расстоянию от (A) до (A_1). В кубе (A_1) — это вершина, которая находится напротив (A) по диагонали грани. Расстояние между противоположными вершинами куба равно длине диагонали куба: [ AA_1 = \sqrt{1,6^2 + 1,6^2 + 1,6^2} = 1,6\sqrt{3} ]

2. Положение сферы относительно куба: Сфера с центром в (A) и радиусом (1,6\sqrt{3}) полностью включает в себя куб, так как радиус сферы больше, чем длина диагонали куба (1,6\sqrt{3} > 1,6\sqrt{2}).

3. Часть сферы внутри куба: Мы ищем площадь поверхности сферы, которая находится внутри куба. Это часть сферы, ограниченная гранями куба.

4. Площадь поверхности сферы: Полная площадь поверхности сферы с радиусом (R = 1,6\sqrt{3}) равна: [ 4\pi R^2 = 4\pi (1,6\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 7,68 = 30,72\pi ]

5. Часть поверхности сферы внутри куба: Поскольку сфера полностью охватывает куб, и центр сферы находится в одной из вершин, нужно учитывать только часть сферы, совпадающую с кубом. Каждая грань куба будет касаться сферы по небольшой сферической шапке. Рассмотрим одну восьмую часть сферы внутри куба (так как (A) — вершина куба, а не центр): [ \frac{1}{8} \times 4\pi R^2 = \frac{1}{8} \times 30,72\pi = 3,84\pi ]

6. Итог: Площадь (S) части сферы внутри куба, делённая на (\pi), равна: [ S/\pi = 3,84 ]

Таким образом, величина (S/\pi) равна 3,84.