Векторы a,b,c удовлетворяют условиям a+b+c=0,|a|=13,|b|=14,|c|=15. Вычислите сумму ab+bc+ac

Для начала рассмотрим выражение ab+bc+ac.

ab = $-b$$a$ = -ba bc = $-c$$b$ = -cb ac = $-c$$a$ = -ca

Суммируем все три выражения:

ab + bc + ac = -ba - cb - ca = -$ba+cb+ca$ = -$b(a+c$ + ca) = -$b(-b$ + ca) = -$b^2+ca$

Теперь вспомним, что a+b+c=0. Тогда a = -b-c. Подставим это в выражение b^2 + ca:

b^2 + ca = b^2 + c$-b-c$ = b^2 - bc - c^2

Так как |a|=13, |b|=14, |c|=15, то a^2 = 13^2 = 169, b^2 = 14^2 = 196, c^2 = 15^2 = 225. Подставим это в b^2 - bc - c^2:

b^2 - bc - c^2 = 196 - 14*15 - 225 = 196 - 210 - 225 = -239

Итак, сумма ab+bc+ac равна -$-239$ = 239.

Для того чтобы найти сумму скалярных произведений $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}$, воспользуемся данными условиями $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$, $|\mathbf{a}|=13$, $|\mathbf{b}|=14$ и $|\mathbf{c}|=15$.

Сначала перепишем уравнение:

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$

Из этого уравнения можем выразить один из векторов, например, $\mathbf{c}$:

$\mathbf{c}=-(\mathbf{a}+\mathbf{b})$

Теперь найдем скалярное произведение $\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}$:

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}=(-\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (-\mathbf{a}-\mathbf{b})$

Раскроем скобки:

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$

Применим дистрибутивный закон скалярного произведения:

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$

Известно, что $\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{c}{|}^2$. Подставим значения:

$|\mathbf{c}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2$

Подставим значения модулей векторов:

${15}^2={13}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{14}^2$

Рассчитаем квадраты:

$225=169+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+196$

Сложим числа:

$225=365+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$

Вычтем 365 из обеих частей уравнения:

$225-365=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$

$-140=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$

Разделим на 2:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-70$

Теперь перейдем к вычислению суммы $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}$.

Рассмотрим $\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$:

$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{b}\cdot (-\mathbf{a}-\mathbf{b})$

Раскроем скобки:

$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=-\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$

Подставим значения:

$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=-(-70)-{14}^2$

$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=70-196$

$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=-126$

Теперь рассмотрим $\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}$:

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=(-\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}$

Раскроем скобки:

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=-\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$

Подставим значения:

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=-{13}^2-(-70)$

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=-169+70$

$\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=-99$

Теперь найдем сумму:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=-70-126-99$

Сложим числа:

$-70-126-99=-295$

Таким образом, сумма скалярных произведений $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}$ равна $-295$.