Векторы a,b,c удовлетворяют условиям a+b+c=0,|a|=13,|b|=14,|c|=15. Вычислите сумму ab+bc+ac

Для начала рассмотрим выражение ab+bc+ac.

ab = (-b)(a) = -ba bc = (-c)(b) = -cb ac = (-c)(a) = -ca

Суммируем все три выражения:

ab + bc + ac = -ba - cb - ca = -(ba + cb + ca) = -(b(a+c) + ca) = -(b(-b) + ca) = -(b^2 + ca)

Теперь вспомним, что a+b+c=0. Тогда a = -b-c. Подставим это в выражение b^2 + ca:

b^2 + ca = b^2 + c(-b-c) = b^2 - bc - c^2

Так как |a|=13, |b|=14, |c|=15, то a^2 = 13^2 = 169, b^2 = 14^2 = 196, c^2 = 15^2 = 225. Подставим это в b^2 - bc - c^2:

b^2 - bc - c^2 = 196 - 14*15 - 225 = 196 - 210 - 225 = -239

Итак, сумма ab+bc+ac равна -(-239) = 239.

Для того чтобы найти сумму скалярных произведений ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} ), воспользуемся данными условиями ( \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = 0 ), ( |\mathbf{a}| = 13 ), ( |\mathbf{b}| = 14 ) и ( |\mathbf{c}| = 15 ).

Сначала перепишем уравнение:

[ \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = 0 ]

Из этого уравнения можем выразить один из векторов, например, ( \mathbf{c} ):

[ \mathbf{c} = -(\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Теперь найдем скалярное произведение ( \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} ):

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (-\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (-\mathbf{a} - \mathbf{b}) ]

Раскроем скобки:

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Применим дистрибутивный закон скалярного произведения:

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ]

Известно, что ( \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{c}|^2 ). Подставим значения:

[ |\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2 ]

Подставим значения модулей векторов:

[ 15^2 = 13^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 14^2 ]

Рассчитаем квадраты:

[ 225 = 169 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 196 ]

Сложим числа:

[ 225 = 365 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ]

Вычтем 365 из обеих частей уравнения:

[ 225 - 365 = 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ]

[ -140 = 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ]

Разделим на 2:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -70 ]

Теперь перейдем к вычислению суммы ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} ).

Рассмотрим ( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} ):

[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{b} \cdot (-\mathbf{a} - \mathbf{b}) ]

Раскроем скобки:

[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = -\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ]

Подставим значения:

[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = -(-70) - 14^2 ]

[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 70 - 196 ]

[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = -126 ]

Теперь рассмотрим ( \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} ):

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = (-\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} ]

Раскроем скобки:

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ]

Подставим значения:

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = -13^2 - (-70) ]

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = -169 + 70 ]

[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = -99 ]

Теперь найдем сумму:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = -70 - 126 - 99 ]

Сложим числа:

[ -70 - 126 - 99 = -295 ]

Таким образом, сумма скалярных произведений ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} ) равна ( -295 ).