Вектор а ( над а стрелочка) сонаправлен с вектором b ( над b стрелочка) {-1; 2} и имеет длину вектора с (над с стрелочка) { -3; 4}. Найдите координаты вектора a(над а стрелочка).
Вектор а ( над а стрелочка) сонаправлен с вектором b ( над b стрелочка) {-1; 2} и имеет длину вектора с (над с стрелочка) { -3; 4}. Найдите координаты вектора a(над а стрелочка).
Чтобы найти координаты вектора (\vec{a}), который сонаправлен с вектором (\vec{b} = {-1; 2}) и имеет длину, равную длине вектора (\vec{c} = {-3; 4}), нужно выполнить следующие шаги:
Найти длину вектора (\vec{c}):
Длина вектора (\vec{c}) рассчитывается по формуле: [ |\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. ]
Найти единичный вектор, сонаправленный с (\vec{b}):
Сначала найдем длину вектора (\vec{b}): [ |\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}. ]
Единичный вектор (\vec{u}), сонаправленный с (\vec{b}), находится делением каждого компонента вектора (\vec{b}) на его длину: [ \vec{u} = \left{ \frac{-1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right}. ]
Найти вектор (\vec{a}) с длиной 5, сонаправленный с (\vec{b}):
Умножим единичный вектор (\vec{u}) на длину вектора (\vec{c}), то есть на 5: [ \vec{a} = 5 \cdot \vec{u} = 5 \cdot \left{ \frac{-1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right} = \left{ \frac{-5}{\sqrt{5}}, \frac{10}{\sqrt{5}} \right}. ]
Упростим выражения: [ \vec{a} = \left{ \frac{-5}{\sqrt{5}}, \frac{10}{\sqrt{5}} \right} = \left{ -\sqrt{5}, 2\sqrt{5} \right}. ]
Таким образом, координаты вектора (\vec{a}) равны ({-\sqrt{5}, 2\sqrt{5}}).
Для начала найдем длину вектора b (над b стрелочка): |b| = √((-1)^2 + 2^2) = √(1 + 4) = √5
Теперь найдем коэффициент пропорциональности между векторами a и b: k = |c| / |b| = √((-3)^2 + 4^2) / √5 = √(9 + 16) / √5 = √25 / √5 = 5 / √5 = √5
Таким образом, координаты вектора a (над а стрелочка) будут: a = k b = √5 {-1; 2} = {-√5; 2√5}
