Вектор а (2;1-8) Вектор б(1;-5;0) Вектор с(8;1;-4) Докажите,что треугольник АВС равнобедренный Найти...

Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, нужно убедиться, что длины двух его сторон равны. Для этого найдем длины сторон треугольника ABC, используя заданные векторы.

Для этого вычислим векторы, соединяющие вершины треугольника: AB = В - А = (1; -5; 0) - (2; 1; -8) = (-1; -6; 8) AC = С - А = (8; 1; -4) - (2; 1; -8) = (6; 0; 4)

Теперь найдем длины этих векторов: |AB| = √((-1)² + (-6)² + 8²) = √(1 + 36 + 64) = √101 |AC| = √(6² + 0² + 4²) = √(36 + 0 + 16) = √52

Теперь убедимся, что длины сторон AB и AC равны: √101 = √52

Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.

Чтобы найти длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон, нужно найти середины сторон треугольника. Для этого найдем средние точки сторон AB и AC:

Середина стороны AB: (1 + 2)/2; (-5 + 1)/2; (0 - 8)/2 = (1.5; -2; -4) Середина стороны AC: (8 + 2)/2; (1 + 1)/2; (-4 - 8)/2 = (5; 1; -6)

Теперь найдем вектор, соединяющий середины сторон AB и AC: М = Середина AC - Середина AB = (5; 1; -6) - (1.5; -2; -4) = (3.5; 3; -2)

Наконец, найдем длину этого вектора, которая будет являться длиной средней линии треугольника: |М| = √(3.5² + 3² + (-2)²) = √(12.25 + 9 + 4) = √25.25

Таким образом, длина средней линии треугольника ABC, соединяющей середины боковых сторон, равна √25.25.

Для того чтобы доказать, что треугольник (ABC) равнобедренный, можно показать, что длины двух его сторон равны между собой. Пусть (A), (B), и (C) — точки с координатами, соответствующими данным векторам (a), (b), и (c). Тогда (A = (2, 1, -8)), (B = (1, -5, 0)), (C = (8, 1, -4)).

Длины сторон (AB), (BC), и (AC) находим по формуле длины вектора, который является разностью координат двух точек: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ] [ BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2 + (z_3 - z_2)^2} ] [ AC = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2 + (z_3 - z_1)^2} ]

Рассчитаем каждую из сторон:

1. (AB = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-5 - 1)^2 + (0 + 8)^2} = \sqrt{1 + 36 + 64} = \sqrt{101})
2. (BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (1 + 5)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{49 + 36 + 16} = \sqrt{101})
3. (AC = \sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (-4 + 8)^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52})

Из расчетов видно, что (AB = BC = \sqrt{101}), следовательно, треугольник (ABC) является равнобедренным с основанием (AC).

Теперь найдем длину средней линии (MN), соединяющей середины сторон (AB) и (BC). Середина стороны (AB) имеет координаты: [ M = \left(\frac{2+1}{2}, \frac{1-5}{2}, \frac{-8+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2, -4\right) ] Середина стороны (BC) имеет координаты: [ N = \left(\frac{1+8}{2}, \frac{-5+1}{2}, \frac{0-4}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, -2, -2\right) ]

Длина (MN) вычисляется по формуле: [ MN = \sqrt{\left(\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 + (-2 + 2)^2 + (-2 + 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]

Таким образом, длина средней линии (MN) треугольника (ABC) равна (2\sqrt{10}).

Треугольник ABC равнобедренный, если длины двух его сторон равны. Для этого найдем длины сторон AB, AC и BC, затем сравним их.

AB = sqrt((1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0+8)^2) = sqrt(1 + 36 + 64) = sqrt(101)

AC = sqrt((8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4+8)^2) = sqrt(36 + 0 + 16) = sqrt(52)

BC = sqrt((8-1)^2 + (1+5)^2 + (-4-0)^2) = sqrt(49 + 36 + 16) = sqrt(101)

Таким образом, AB = BC, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.

Длина средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон, равна половине длины основания треугольника. Длина средней линии треугольника с равна sqrt(AB^2 + AC^2)/2 = sqrt(101 + 52)/2 = sqrt(153)/2 = 7.8.