В выпуклом многоугольнике есть 5 углов с градусной мерой 140 градусов каждый, остальные углы - острые....

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться тем, что сумма всех углов выпуклого многоугольника равна 180*(n-2) где n - количество вершин многоугольника.

Итак, у нас есть 5 углов по 140 градусов каждый, что в сумме составляет 700 градусов. Остальные углы являются острыми, следовательно их сумма будет меньше 180 градусов на каждый.

Давайте обозначим количество острых углов как х. Тогда сумма всех углов в многоугольнике будет равна 700 + х*180.

Согласно формуле для суммы всех углов выпуклого многоугольника, мы имеем: 700 + х180 = 180(n-2).

Решим уравнение: 700 + 180x = 180n - 360 180x + 360 = 180n - 700 180(x + 2) = 180n - 700 x + 2 = n - 4 x = n - 6

Так как x - количество острых углов, их должно быть хотя бы 3 (так как в многоугольнике есть 5 углов по 140 градусов), а значит n >= 9.

Из уравнения x = n - 6 следует, что n = x + 6. Так как n должно быть целым числом, то x должно быть кратно 6. Подставляя значения, при x = 6 получаем n = 12.

Таким образом, количество сторон в данном многоугольнике равно 12.

Давайте разберем задачу по частям. Нам нужно найти количество сторон выпуклого многоугольника, в котором пять углов имеют градусную меру 140 градусов, а остальные углы являются острыми (т.е. имеют градусную меру менее 90 градусов).

1. Сумма внутренних углов многоугольника: Для любого n-угольника сумма внутренних углов вычисляется по формуле:

   [ S = (n - 2) \times 180^\circ ]

2. Углы многоугольника: У нас есть 5 углов по 140 градусов. Если обозначить количество острых углов как ( k ), то общее количество углов (и сторон) многоугольника будет ( n = 5 + k ).

3. Сумма углов: С учетом известных углов, сумма всех углов будет:

   [ 5 \times 140^\circ + x_1 + x_2 + \ldots + x_k = (n - 2) \times 180^\circ ]

   где ( x_1, x_2, \ldots, x_k ) — острые углы, и каждый из них меньше 90 градусов.

4. Подставим известные значения:

   [ 700^\circ + x_1 + x_2 + \ldots + x_k = (5 + k - 2) \times 180^\circ ]

   [ 700^\circ + x_1 + x_2 + \ldots + x_k = (3 + k) \times 180^\circ ]

5. Рассмотрим случай ( n = 6 ):

   Если ( n = 6 ), то ( k = 1 ) (т.е. один острый угол). Подставим в уравнение:

   [ 700^\circ + x_1 = 4 \times 180^\circ = 720^\circ ]

   Отсюда

   [ x_1 = 720^\circ - 700^\circ = 20^\circ ]

   20 градусов — это острый угол, что удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, при ( n = 6 ) все условия задачи выполняются. Поэтому количество сторон многоугольника равно 6.