В треугольнике угол A=30° угол C=45° а высота BD= 4 см, Найдите стороны треугольника. Помогите с подробным...

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть треугольник ( \triangle ABC ), в котором даны углы: ( \angle A = 30^\circ ) и ( \angle C = 45^\circ ). В этом случае третий угол ( \angle B ) может быть найден из суммы углов треугольника:

[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ. ]

Известно, что высота ( BD = 4 ) см, и она опущена на сторону ( AC ).

Шаг 1: Используем тригонометрию

1. Найдем сторону ( AC ):

   Высота ( BD ) делит ( \triangle ABC ) на два прямоугольных треугольника ( \triangle ABD ) и ( \triangle BCD ).

   Рассмотрим треугольник ( \triangle ABD ). В этом треугольнике:

   • ( \angle A = 30^\circ )
   • ( BD = 4 ) см — это противолежащий катет для угла ( A ).

   Используем тригонометрическую функцию синуса для угла ( A ):

   [ \sin 30^\circ = \frac{BD}{AB} = \frac{1}{2}. ]

   Отсюда находим ( AB ):

   [ AB = \frac{BD}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0.5} = 8 \text{ см}. ]

2. Найдем сторону ( BC ):

   Рассмотрим треугольник ( \triangle BCD ). В этом треугольнике:

   • ( \angle C = 45^\circ )
   • ( BD = 4 ) см — это противолежащий катет для угла ( C ).

   Используем тригонометрическую функцию косинуса для угла ( C ):

   [ \cos 45^\circ = \frac{BD}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

   Отсюда находим ( BC ):

   [ BC = \frac{BD}{\cos 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ см}. ]

Шаг 2: Найдем сторону ( AC )

1. Найдем сторону ( AC ) с использованием ( \triangle ABD ) и ( \triangle BCD ):

   Поскольку ( BD ) — это высота, она также является перпендикуляром к ( AC ), и мы можем использовать соотношения в прямоугольных треугольниках.

   Из треугольника ( \triangle ABD ):

   [ \tan 30^\circ = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{\sqrt{3}}. ]

   Отсюда:

   [ AD = BD \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}. ]

   Из треугольника ( \triangle BCD ):

   [ \tan 45^\circ = \frac{BD}{DC} = 1. ]

   Отсюда:

   [ DC = BD = 4 \text{ см}. ]

   Таким образом, ( AC = AD + DC = 4\sqrt{3} + 4 ).

Итак, длины сторон треугольника ( \triangle ABC ) равны:

• ( AB = 8 ) см,
• ( BC = 4\sqrt{2} ) см,
• ( AC = 4\sqrt{3} + 4 ) см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться тригонометрическими функциями.

Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, угол B = 180° - 30° - 45° = 105°.

Так как треугольник является прямоугольным (высота BD является высотой к стороне AC), то мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса для нахождения сторон треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC: tg(45°) = BD/AC 1 = 4/AC AC = 4 см

Рассмотрим треугольник ABD: tg(30°) = BD/AB 1/√3 = 4/AB AB = 4√3 см

Таким образом, стороны треугольника равны: AB = 4√3 см AC = 4 см BC = √(AB^2 + AC^2) = √(48 + 16) = √64 = 8 см

Ответ: AB = 4√3 см, AC = 4 см, BC = 8 см.