В треугольнике угол A=30° угол C=45° а высота BD= 4 см, Найдите стороны треугольника. Помогите с подробным...

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть треугольник $\mathrm{△}ABC$, в котором даны углы: $\mathrm{\angle }A={30}^{\circ }$ и $\mathrm{\angle }C={45}^{\circ }$. В этом случае третий угол $\mathrm{\angle }B$ может быть найден из суммы углов треугольника:

$\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }C={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{45}^{\circ }={105}^{\circ }.$

Известно, что высота $BD=4$ см, и она опущена на сторону $AC$.

Шаг 1: Используем тригонометрию

1. Найдем сторону $AC$:

   Высота $BD$ делит $\mathrm{△}ABC$ на два прямоугольных треугольника $\mathrm{△}ABD$ и $\mathrm{△}BCD$.

   Рассмотрим треугольник $\mathrm{△}ABD$. В этом треугольнике:

   • $\mathrm{\angle }A={30}^{\circ }$
   • $BD=4$ см — это противолежащий катет для угла $A$.

   Используем тригонометрическую функцию синуса для угла $A$:

   $\sin {30}^{\circ }=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}.$

   Отсюда находим $AB$:

   $AB=\frac{BD}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{4}{0.5}=8\text{ см}.$

2. Найдем сторону $BC$:

   Рассмотрим треугольник $\mathrm{△}BCD$. В этом треугольнике:

   • $\mathrm{\angle }C={45}^{\circ }$
   • $BD=4$ см — это противолежащий катет для угла $C$.

   Используем тригонометрическую функцию косинуса для угла $C$:

   $\cos {45}^{\circ }=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

   Отсюда находим $BC$:

   $BC=\frac{BD}{\cos {45}^{\circ }}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\cdot 2}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\text{ см}.$

Шаг 2: Найдем сторону $AC$

1. Найдем сторону $AC$ с использованием $\mathrm{△}ABD$ и $\mathrm{△}BCD$:

   Поскольку $BD$ — это высота, она также является перпендикуляром к $AC$, и мы можем использовать соотношения в прямоугольных треугольниках.

   Из треугольника $\mathrm{△}ABD$:

   $\tan {30}^{\circ }=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

   Отсюда:

   $AD=BD\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}\text{ см}.$

   Из треугольника $\mathrm{△}BCD$:

   $\tan {45}^{\circ }=\frac{BD}{DC}=1.$

   Отсюда:

   $DC=BD=4\text{ см}.$

   Таким образом, $AC=AD+DC=4\sqrt{3}+4$.

Итак, длины сторон треугольника $\mathrm{△}ABC$ равны:

• $AB=8$ см,
• $BC=4\sqrt{2}$ см,
• $AC=4\sqrt{3}+4$ см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться тригонометрическими функциями.

Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, угол B = 180° - 30° - 45° = 105°.

Так как треугольник является прямоугольным $высотаBDявляетсявысотойксторонеAC$, то мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса для нахождения сторон треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC: tg$45°$ = BD/AC 1 = 4/AC AC = 4 см

Рассмотрим треугольник ABD: tg$30°$ = BD/AB 1/√3 = 4/AB AB = 4√3 см

Таким образом, стороны треугольника равны: AB = 4√3 см AC = 4 см BC = √$A{B}^2+A{C}^2$ = √$48+16$ = √64 = 8 см

Ответ: AB = 4√3 см, AC = 4 см, BC = 8 см.