В треугольнике MNK угол К=45 градусов, угол N=60 градусов и сторона MK=6 см. Нужно найти длину стороны...

Конечно! Давайте решим задачу о нахождении длины стороны ( MN ) в треугольнике ( \triangle MNK ), где угол ( K = 45^\circ ), угол ( N = 60^\circ ), и сторона ( MK = 6 ) см.

Первым шагом является определение третьего угла треугольника ( M ). Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна ( 180^\circ ), мы можем найти угол ( M ) следующим образом:

[ \angle M = 180^\circ - \angle K - \angle N = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. ]

Теперь у нас есть все три угла треугольника: ( \angle K = 45^\circ ), ( \angle N = 60^\circ ), и ( \angle M = 75^\circ ).

Для нахождения длины стороны ( MN ) будем использовать теорему синусов. Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно постоянной для всех сторон треугольника:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, ]

где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( A, B, C ) — противолежащие углы.

Для нашего треугольника это можно записать как:

[ \frac{MN}{\sin 60^\circ} = \frac{MK}{\sin 75^\circ}. ]

Подставим известные значения:

[ \frac{MN}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\sin 75^\circ}. ]

Теперь найдём значения синусов:

• (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}),
• (\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)).

Используя формулу синуса суммы, имеем:

[ \sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ. ]

Подставляя значения:

[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, ]

получаем:

[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. ]

Теперь подставим эти значения в уравнение:

[ \frac{MN}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}. ]

Упрощаем уравнение:

[ MN = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{6 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. ]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое ( \sqrt{6} - \sqrt{2} ):

[ MN = \frac{12\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}. ]

Знаменатель:

[ (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4. ]

Числитель:

[ 12\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 12\sqrt{18} - 12\sqrt{6} = 36\sqrt{2} - 12\sqrt{6}. ]

Теперь упростим:

[ MN = \frac{36\sqrt{2} - 12\sqrt{6}}{4} = 9\sqrt{2} - 3\sqrt{6}. ]

Таким образом, длина стороны ( MN ) является ( 9\sqrt{2} - 3\sqrt{6} ) см.

Для нахождения длины стороны MN воспользуемся теоремой косинусов. По формуле косинусов: MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 MN NK cos(угол М) Подставляем данные: 6^2 = MN^2 + NK^2 - 2 MN NK cos(45) 36 = MN^2 + NK^2 - 2 MN NK sqrt(2)/2 Учитывая, что NK = MN, получаем: 36 = 2MN^2 - 2MN^2 sqrt(2)/2 36 = 2MN^2 - MN^2 * sqrt(2) 36 = MN^2 (2 - sqrt(2)) MN^2 = 36 / (2 - sqrt(2)) MN = √(36 / (2 - sqrt(2))) MN ≈ 8.37 см

Ответ: длина стороны MN ≈ 8.37 см.

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Сначала найдем третий угол треугольника MNK, применив свойство суммы углов треугольника: угол М + угол N + угол К = 180 градусов. Угол М = 180 - 45 - 60 = 75 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему синусов, которая гласит: отношение стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике равно для всех сторон. Таким образом, мы можем записать: MK/sinК = MN/sinМ = KN/sinN

Подставляем известные значения: 6/sin45 = MN/sin75

Далее находим sin75 и sin45: sin45 = √2 / 2 ≈ 0.7071 sin75 = √6 + √2 / 4 ≈ 0.9659

Теперь можем найти длину стороны MN: 6/0.7071 = MN/0.9659 MN = 6 * 0.9659 / 0.7071 ≈ 8.19 см

Таким образом, длина стороны MN примерно равна 8.19 см.