В треугольнике АВС угол С=90, АВ=15, tgА=3/4, Найти АС

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

Из теоремы Пифагора получаем: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 15^2 + BC^2 AC^2 = 225 + BC^2

Также известно, что tg(A) = BC/AB = 3/4. Значит, BC = 3/4 AB = 3/4 15 = 45/4.

Подставляем значение BC в уравнение: AC^2 = 225 + (45/4)^2 AC^2 = 225 + 2025/16 AC^2 = 3600/16 + 2025/16 AC^2 = 5625/16

Извлекаем корень из обеих сторон уравнения: AC = sqrt(5625/16) AC = 75/4

Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC равна 75/4.

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.

Дано:

• треугольник ( \triangle ABC ) прямоугольный с прямым углом ( \angle C ).
• гипотенуза ( AB = 15 ).
• ( \tan \angle A = \frac{3}{4} ).

Найти:

• ( AC ).

Обозначим:

• ( AC = a ).
• ( BC = b ).
• ( AB = c = 15 ).

Используем определение тангенса в прямоугольном треугольнике: [ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a} = \frac{3}{4} ]

Это означает, что: [ b = \frac{3}{4}a ]

Теперь используем теорему Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставим ( b = \frac{3}{4}a ) в уравнение: [ a^2 + \left(\frac{3}{4}a\right)^2 = 15^2 ]

Решим это уравнение: [ a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 225 ]

Приведем к общему знаменателю: [ a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 225 ] [ \frac{16}{16}a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 225 ] [ \frac{25}{16}a^2 = 225 ]

Умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от знаменателя: [ 25a^2 = 3600 ]

Разделим обе стороны на 25: [ a^2 = 144 ]

Возьмем квадратный корень из обеих сторон: [ a = 12 ]

Таким образом, ( AC = 12 ).

Ответ: ( AC = 12 ).