В треугольнике АВС угол А равен 45*,ВС=10 см,высота ВД делит сторону АС на отрезки АД=6 см и ДС= 8 см.Найдите...

Для решения задачи находим площадь треугольника ( \triangle ABC ) и высоту, проведенную к стороне ( BC ).

1. Площадь треугольника ( \triangle ABC )

Из условия известно, что ( \angle A = 45^\circ ), ( BC = 10 ) см, ( AD = 6 ) см и ( DC = 8 ) см. Высота ( BD ) перпендикулярна стороне ( AC ), деля её на два отрезка ( AD ) и ( DC ).

Сначала найдем длину стороны ( AC ): [ AC = AD + DC = 6 + 8 = 14 \text{ см} ]

Теперь воспользуемся формулой площади треугольника, когда известна сторона и высота: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD ]

Для нахождения высоты ( BD ) применим тригонометрические функции. В треугольнике ( \triangle ABD ), угол ( \angle BAD ) равен ( 45^\circ ). Высота ( BD ) противоположна углу ( \angle BAD ), а ( AD ) — прилежащий катет. Используем тангенс угла: [ \tan 45^\circ = 1 = \frac{BD}{AD} ] [ BD = AD \cdot \tan 45^\circ = 6 \cdot 1 = 6 \text{ см} ]

Таким образом, высота ( BD ) равна 6 см.

Теперь можем найти площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2 ]

1. Высота, проведенная к стороне ( BC )

Обозначим высоту, опущенную из вершины ( A ) на сторону ( BC ), как ( h_A ). Площадь треугольника можно выразить также через основание ( BC ) и высоту ( h_A ): [ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A ]

Мы уже нашли площадь ( S ) и знаем длину ( BC ): [ 42 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_A ]

Решим это уравнение для ( h_A ): [ 42 = 5 \cdot h_A ] [ h_A = \frac{42}{5} = 8.4 \text{ см} ]

Итак, площадь треугольника ( \triangle ABC ) равна 42 см², а высота, проведенная к стороне ( BC ), составляет 8.4 см.

Для нахождения площади треугольника АВС можно воспользоваться формулой S = 0.5 a h, где a - одна из сторон треугольника, h - высота, проведенная к этой стороне.

Высота треугольника, проведенная к стороне ВС, равна 8 см. Так как известны две стороны треугольника АВС (ВС=10 см и АД=6 см), можно найти третью сторону AC по теореме Пифагора: AC^2 = AD^2 + DC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, следовательно AC = 10 см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника АВС: S = 0.5 AC h = 0.5 10 8 = 40 см^2.

Также, чтобы найти высоту, проведенную к стороне ВС, можно воспользоваться теоремой Пифагора: h^2 = AB^2 - BH^2 = AC^2 - BC^2, где h - искомая высота, АВ=AC, BC=DC, поэтому h^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36, отсюда h = 6 см.

Итак, площадь треугольника АВС равна 40 см^2, а высота, проведенная к стороне ВС, равна 6 см.