В треугольнике AВС угол А=60 градусов, угол В=45 градусов, АС=корень из 6см , найдите сторону ВС

Для решения данной задачи можно использовать тригонометрические соотношения в треугольнике. В треугольнике ABC у нас известны два угла и одна сторона. Это позволяет использовать закон синусов для нахождения неизвестной стороны.

Закон синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов треугольника, т.е.: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ] где (a), (b), и (c) — стороны треугольника, а (A), (B), и (C) — противолежащие углы.

В нашем случае, из условия известно, что (A = 60^\circ), (B = 45^\circ), и (AC = \sqrt{6}) см. Угол (C) можно найти, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов: [ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ ]

Теперь применим закон синусов для нахождения стороны (BC): [ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin C} ]

Подставим значения: [ \frac{\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 75^\circ} ]

Используя значение синуса для углов 45 и 75 градусов ((\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), (\sin 75^\circ) можно найти через тригонометрические тождества или воспользоваться калькулятором), получаем: [ \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{BC}{\sin 75^\circ} ] [ \frac{\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{BC}{\sin 75^\circ} ] [ \frac{2\sqrt{3}}{\sin 75^\circ} = BC ]

Теперь находим (\sin 75^\circ). Зная, что (\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)), можем использовать формулу синуса суммы: [ \sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ ] [ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Теперь подставляем в формулу для (BC): [ BC = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} ] [ BC = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ]

Для упрощения выражения можно домножить числитель и знаменатель на (\sqrt{6} - \sqrt{2}) и получить: [ BC = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} ] [ BC = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} ] [ BC = 2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) ]

Это и будет ответом для стороны (BC).

Для нахождения стороны ВС воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть сторона BC = x см.

Тогда, по теореме косинусов, имеем:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC * cos(∠B)

(∵ ∠A = 60°, ∠B = 45°, ∠C = 75°)

6 = AB^2 + x^2 - 2 AB x * cos(45°)

6 = AB^2 + x^2 - √2 AB x

Также, из условия треугольника ABC, имеем:

AB = AC * sin(∠B) / sin(∠C)

AB = √6 * sin(45°) / sin(75°)

AB = √6 * (√2 / 2) / (√6 / 2)

AB = 1

Подставляем AB = 1 в уравнение:

6 = 1 + x^2 - √2 * x

x^2 - √2 * x - 5 = 0

Решив это квадратное уравнение, находим:

x = (√2 ± √38) / 2

Так как сторона ВС не может быть отрицательной, то x = (√2 + √38) / 2 ≈ 3.47 см.

Итак, сторона ВС равна примерно 3.47 см.