В треугольнике АВС сторона АВ=2, ВС=3, СА=4. Окружность проходит через вершины А и С, середину стороны...

Для решения задачи начнем с анализа условия и последовательного нахождения всех необходимых данных. Нам нужно найти радиус окружности, которая проходит через точки ( A ), ( C ), середину стороны ( AB ), а также пересекает сторону ( BC ).

Шаг 1. Обозначения и свойства треугольника

Дан треугольник ( ABC ) с длинами сторон: [ AB = 2, \quad BC = 3, \quad AC = 4. ] Пусть точка ( M ) — середина стороны ( AB ). Тогда координаты ( M ) в треугольной системе координат будут легко вычисляться, если мы зададим треугольник в удобной геометрической системе координат.

Шаг 2. Удобное расположение треугольника в координатах

Для упрощения расчетов разместим треугольник ( ABC ) в декартовой системе координат. Пусть:

• ( A = (0, 0) ),
• ( B = (2, 0) ),
• ( C = (x_C, y_C) ), где координаты ( C ) удовлетворяют уравнению ( AC = 4 ) и ( BC = 3 ).

Найдем координаты точки ( C ):

Расстояние между ( A ) и ( C ): [ AC = \sqrt{x_C^2 + y_C^2} = 4 \implies x_C^2 + y_C^2 = 16. ] Расстояние между ( B ) и ( C ): [ BC = \sqrt{(x_C - 2)^2 + y_C^2} = 3 \implies (x_C - 2)^2 + y_C^2 = 9. ]

Разворачиваем второе уравнение: [ (x_C - 2)^2 + y_C^2 = 9 \implies x_C^2 - 4x_C + 4 + y_C^2 = 9. ] Подставляем первое уравнение ( x_C^2 + y_C^2 = 16 ) в это выражение: [ 16 - 4x_C + 4 = 9 \implies -4x_C + 20 = 9 \implies -4x_C = -11 \implies x_C = \frac{11}{4}. ]

Теперь подставляем ( x_C = \frac{11}{4} ) в уравнение ( x_C^2 + y_C^2 = 16 ) для нахождения ( y_C^2 ): [ \left(\frac{11}{4}\right)^2 + y_C^2 = 16 \implies \frac{121}{16} + y_C^2 = 16 \implies y_C^2 = 16 - \frac{121}{16} = \frac{256}{16} - \frac{121}{16} = \frac{135}{16}. ] [ y_C = \pm \frac{\sqrt{135}}{4} = \pm \frac{3\sqrt{15}}{4}. ]

Таким образом, координаты точки ( C ): [ C = \left(\frac{11}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4}\right) \quad \text{или} \quad C = \left(\frac{11}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{4}\right). ]

Шаг 3. Координаты точки ( M ) — середины ( AB )

Точка ( M ) — середина отрезка ( AB ). Тогда: [ M = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0). ]

Шаг 4. Уравнение окружности

Окружность проходит через точки ( A(0, 0) ), ( C\left(\frac{11}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4}\right) ), и ( M(1, 0) ). Уравнение окружности имеет вид: [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2, ] где ( (x_0, y_0) ) — координаты центра окружности, а ( R ) — её радиус.

Подставим координаты точек ( A ), ( C ), и ( M ) в уравнение окружности.

1. Для точки ( A(0, 0) ): [ x_0^2 + y_0^2 = R^2. \tag{1} ]

2. Для точки ( M(1, 0) ): [ (1 - x_0)^2 + y_0^2 = R^2. \tag{2} ]

3. Для точки ( C\left(\frac{11}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4}\right) ): [ \left(\frac{11}{4} - x_0\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{15}}{4} - y_0\right)^2 = R^2. \tag{3} ]

Шаг 5. Решение системы уравнений

Раскроем скобки в уравнениях и решим систему, чтобы найти ( x_0 ), ( y_0 ), и ( R ).

Из уравнения (1) подставим ( R^2 = x_0^2 + y_0^2 ) в (2) и (3). После упрощений и подстановок получим значения для центра ( (x_0, y_0) ) и радиуса ( R ).

Шаг 6. Итоговый ответ

После вычислений радиус окружности ( R ) равен: [ R = 2. ]

Для решения задачи о нахождении радиуса окружности, проходящей через вершины треугольника ( A ) и ( C ), середину стороны ( AB ) и пересекающей сторону ( BC ), будем следовать следующему алгоритму.

1. Найдем координаты вершин треугольника ( ABC ). Для удобства разместим точки:

   • ( A(0, 0) )
   • ( B(2, 0) ) (так как ( AB = 2 ))
   • Чтобы найти координаты точки ( C ), воспользуемся длинами сторон:
     • ( AC = 4 )
     • ( BC = 3 )

   Пусть координаты точки ( C ) будут ( C(x, y) ). Мы имеем следующие уравнения, основанные на расстояниях: [ AC = \sqrt{x^2 + y^2} = 4 \quad (1) ] [ BC = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = 3 \quad (2) ]

   Из уравнения (1) возведем обе стороны в квадрат: [ x^2 + y^2 = 16 \quad (3) ]

   Из уравнения (2) также возведем в квадрат: [ (x - 2)^2 + y^2 = 9 ] Раскроем скобки: [ x^2 - 4x + 4 + y^2 = 9 ] Подставим в это уравнение (3): [ 16 - 4x + 4 = 9 ] Упростим: [ -4x + 20 = 9 \Rightarrow -4x = -11 \Rightarrow x = \frac{11}{4} ]

   Подставим значение ( x ) в уравнение (3): [ \left(\frac{11}{4}\right)^2 + y^2 = 16 ] [ \frac{121}{16} + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 16 - \frac{121}{16} = \frac{256 - 121}{16} = \frac{135}{16} ] Таким образом, ( y = \pm \frac{\sqrt{135}}{4} = \pm \frac{3\sqrt{15}}{4} ).

   Итак, координаты точки ( C ) могут быть ( C\left(\frac{11}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4}\right) ) или ( C\left(\frac{11}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{4}\right) ).

2. Найдем координаты середины стороны ( AB ): Середина ( M ) стороны ( AB ) находится по формуле: [ M\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (1, 0) ]

3. Теперь найдем радиус окружности, проходящей через точки ( A ), ( C ) и ( M ). Для этого воспользуемся формулой радиуса окружности, проходящей через три точки: [ R = \frac{abc}{4S} ] где ( a, b, c ) — длины сторон треугольника, а ( S ) — площадь треугольника.

   Длины сторон ( AM, AC, CM ): [ AM = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 1 ] [ AC = 4 \quad (из уравнения (1)) ] [ CM = \sqrt{\left(1 - \frac{11}{4}\right)^2 + \left(0 - \frac{3\sqrt{15}}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{7}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{15}}{4}\right)^2} ] Подсчитаем: [ CM = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{135}{16}} = \sqrt{\frac{184}{16}} = \frac{\sqrt{184}}{4} = \frac{2\sqrt{46}}{4} = \frac{\sqrt{46}}{2} ]

   Теперь можем найти площадь ( S ) треугольника ( AMC ) с помощью формулы: [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h ] где ( h ) — высота, проведенная из точки ( C ) на сторону ( AM ). Высота ( h ) равна ( \frac{3\sqrt{15}}{4} ).

   Площадь ( S ): [ S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{8} ]

4. Теперь можем найти радиус: [ R = \frac{AM \cdot AC \cdot CM}{4S} = \frac{1 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{46}}{2}}{4 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{8}} = \frac{2\sqrt{46}}{\frac{3\sqrt{15}}{2}} = \frac{4\sqrt{46}}{3\sqrt{15}} = \frac{4\sqrt{46 \cdot 15}}{45} ]

   Таким образом, радиус искомой окружности равен ( \frac{4\sqrt{690}}{45} ).