В треугольнике АВС со сторонами АВ=7см, ВС=9см,АС=10см вписана окружность,касающаяся стороны АС в точке...

Расстояние от точки Е до точки К биссектрисы ВК равно радиусу вписанной окружности. Для нахождения радиуса вписанной окружности можно воспользоваться формулой радиуса вписанной окружности в треугольнике: r = √((p-a)(p-b)(p-c))/p, где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника.

Для начала найдем площадь треугольника $ABC$, используя формулу полупериметра:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{7 + 9 + 10}{2} = 13$

Площадь треугольника $ABC$:

$S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{13 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{936} = 6\sqrt{26}$

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{6\sqrt{26}}{13} = 2\sqrt{26}$

Так как точка $E$ является точкой касания вписанной окружности к стороне $AC$, то отрезок $AE = EC = r = 2\sqrt{26}$

Теперь найдем высоту треугольника $ABC$ из вершины $A$ на сторону $BC$:

$h = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{26}}{7} = \frac{12\sqrt{26}}{7}$

Теперь найдем расстояние от точки $E$ до точки $K$ - середины стороны $BC$:

$EK = \frac{h}{2} = \frac{12\sqrt{26}}{7 \cdot 2} = \frac{6\sqrt{26}}{7}$

Таким образом, расстояние от точки $E$ до точки $K$ биссектрисы $BK$ равно $\frac{6\sqrt{26}}{7}$ см.

Для решения данной задачи сначала найдем радиус вписанной окружности треугольника (ABC).

1. Найдем полупериметр (p) треугольника: [ p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{7 + 9 + 10}{2} = 13 \text{ см} ]

2. Найдем площадь треугольника (ABC) с помощью формулы Герона: [ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)} ] [ S = \sqrt{13(13 - 7)(13 - 9)(13 - 10)} ] [ S = \sqrt{13 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} ] [ S = \sqrt{936} ] [ S = 6\sqrt{26} \text{ см}^2 ]

3. Найдем радиус (r) вписанной окружности: [ r = \frac{S}{p} ] [ r = \frac{6\sqrt{26}}{13} ] [ r \approx 1.85 \text{ см} ]

4. Используем свойства биссектрисы (BK):

Точка (E) является точкой касания вписанной окружности со стороной (AC). Биссектриса (BK) делит угол (B) на два равных угла и пересекает сторону (CA) в точке (K).

Так как (E) - точка касания, (E) делит сторону (AC) на отрезки, равные касательным из точек (A) и (C) к окружности. То есть: [ AE = s - AC = 13 - 10 = 3 \text{ см} ] [ EC = s - AB = 13 - 7 = 6 \text{ см} ]

1. Рассмотрим треугольник (AKE):

Теперь нам нужно найти расстояние от точки (E) до точки (K) на биссектрисе (BK). Для этого воспользуемся свойствами биссектрисы:

[ \frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} ] [ \frac{AK}{KC} = \frac{7}{9} ]

Пусть (AK = x) и (KC = y). Тогда: [ x + y = AC = 10 \text{ см} ] [ \frac{x}{y} = \frac{7}{9} ] [ x = \frac{7}{9}y ] [ x + y = 10 ] [ \frac{7}{9}y + y = 10 ] [ \frac{16}{9}y = 10 ] [ y = \frac{90}{16} = 5.625 \text{ см} ] [ x = 10 - y = 10 - 5.625 = 4.375 \text{ см} ]

Таким образом, (AK = 4.375 \text{ см}) и (KC = 5.625 \text{ см}).

Теперь найдем расстояние от точки (E) до точки (K) на биссектрисе (BK). Это расстояние является частью (AK), так как (E) делит (AK) на два отрезка (AE = 3 \text{ см}) и (EK = AK - AE):

[ EK = 4.375 - 3 = 1.375 \text{ см} ]

Таким образом, расстояние от точки (E) до точки (K) на биссектрисе (BK) составляет приблизительно (1.375 \text{ см}).