В треугольнике АВС С=68* биссектрисы AD и ВЕ пересекаются в точке О найдите угол АОВ

Тематика Геометрия
Уровень 10 - 11 классы
геометрия треугольник биссектрисы пересечение угол задача на углы АОВ С=68°
0

В треугольнике АВС С=68* биссектрисы AD и ВЕ пересекаются в точке О найдите угол АОВ

avatar
задан 9 дней назад

2 Ответа

0

Чтобы найти угол ( \angle AOB ) в треугольнике ( ABC ), где биссектрисы ( AD ) и ( BE ) пересекаются в точке ( O ), начнем с анализа свойств биссектрис.

Биссектрисы обладают следующим свойством: они делят противоположные углы пополам. Таким образом, угол ( C = 68^\circ ) делится биссектрисой ( AD ) на два угла: ( \angle CAD ) и ( \angle BAD ), и биссектрисой ( BE ) на ( \angle CBE ) и ( \angle ABE ). Однако, поскольку ( D ) и ( E ) находятся на сторонах ( BC ) и ( AC ) соответственно, нам нужно выразить углы ( \angle A ) и ( \angle B ).

Пусть [ \angle A = \alpha ] и [ \angle B = \beta. ]

Зная, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), имеем: [ \alpha + \beta + 68^\circ = 180^\circ. ] Отсюда [ \alpha + \beta = 112^\circ. ]

Теперь обратимся к биссектрисам. Биссектрисы делят углы пополам, следовательно: [ \angle CAD = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle BAD = \frac{\beta}{2}, ] [ \angle ABE = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle CBE = \frac{\beta}{2}. ]

Угол ( \angle AOB ) — это внешний угол к треугольнику ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOC ) относительно угла ( C ). Следовательно: [ \angle AOB = 180^\circ - (\angle AOD + \angle BOD). ] Поскольку ( \angle AOD = \angle CAD + \angle ABE = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha ) и ( \angle BOD = \angle CBE + \angle BAD = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta ), то: [ \angle AOB = 180^\circ - (\alpha + \beta). ]

Подставляя значение (\alpha + \beta = 112^\circ), находим: [ \angle AOB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ. ]

Таким образом, угол ( \angle AOB ) равен ( 68^\circ ).

avatar
ответил 9 дней назад
0

Для нахождения угла АОВ нам необходимо использовать свойство биссектрисы треугольника. Известно, что биссектриса угла треугольника делит этот угол на два равных угла. Таким образом, угол АОВ равен половине суммы углов А и С.

Угол А равен 180° - угол ВСА - угол ВАС, так как сумма углов треугольника равна 180°. Учитывая, что угол С равен 68°, угол ВСА и угол ВАС равны 68°/2 = 34°. Таким образом, угол А равен 180° - 34° - 34° = 112°.

Следовательно, угол АОВ равен (112° + 68°)/2 = 90°.

avatar
ton
ответил 9 дней назад

Ваш ответ

Вопросы по теме