Чтобы найти угол ( \angle AOB ) в треугольнике ( ABC ), где биссектрисы ( AD ) и ( BE ) пересекаются в точке ( O ), начнем с анализа свойств биссектрис.
Биссектрисы обладают следующим свойством: они делят противоположные углы пополам. Таким образом, угол ( C = 68^\circ ) делится биссектрисой ( AD ) на два угла: ( \angle CAD ) и ( \angle BAD ), и биссектрисой ( BE ) на ( \angle CBE ) и ( \angle ABE ). Однако, поскольку ( D ) и ( E ) находятся на сторонах ( BC ) и ( AC ) соответственно, нам нужно выразить углы ( \angle A ) и ( \angle B ).
Пусть
[ \angle A = \alpha ]
и
[ \angle B = \beta. ]
Зная, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), имеем:
[ \alpha + \beta + 68^\circ = 180^\circ. ]
Отсюда
[ \alpha + \beta = 112^\circ. ]
Теперь обратимся к биссектрисам. Биссектрисы делят углы пополам, следовательно:
[ \angle CAD = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle BAD = \frac{\beta}{2}, ]
[ \angle ABE = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle CBE = \frac{\beta}{2}. ]
Угол ( \angle AOB ) — это внешний угол к треугольнику ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOC ) относительно угла ( C ). Следовательно:
[ \angle AOB = 180^\circ - (\angle AOD + \angle BOD). ]
Поскольку ( \angle AOD = \angle CAD + \angle ABE = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha ) и ( \angle BOD = \angle CBE + \angle BAD = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta ), то:
[ \angle AOB = 180^\circ - (\alpha + \beta). ]
Подставляя значение (\alpha + \beta = 112^\circ), находим:
[ \angle AOB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ. ]
Таким образом, угол ( \angle AOB ) равен ( 68^\circ ).