В треугольнике АВС С=68* биссектрисы AD и ВЕ пересекаются в точке О найдите угол АОВ

Чтобы найти угол ( \angle AOB ) в треугольнике ( ABC ), где биссектрисы ( AD ) и ( BE ) пересекаются в точке ( O ), начнем с анализа свойств биссектрис.

Биссектрисы обладают следующим свойством: они делят противоположные углы пополам. Таким образом, угол ( C = 68^\circ ) делится биссектрисой ( AD ) на два угла: ( \angle CAD ) и ( \angle BAD ), и биссектрисой ( BE ) на ( \angle CBE ) и ( \angle ABE ). Однако, поскольку ( D ) и ( E ) находятся на сторонах ( BC ) и ( AC ) соответственно, нам нужно выразить углы ( \angle A ) и ( \angle B ).

Пусть [ \angle A = \alpha ] и [ \angle B = \beta. ]

Зная, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), имеем: [ \alpha + \beta + 68^\circ = 180^\circ. ] Отсюда [ \alpha + \beta = 112^\circ. ]

Теперь обратимся к биссектрисам. Биссектрисы делят углы пополам, следовательно: [ \angle CAD = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle BAD = \frac{\beta}{2}, ] [ \angle ABE = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle CBE = \frac{\beta}{2}. ]

Угол ( \angle AOB ) — это внешний угол к треугольнику ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOC ) относительно угла ( C ). Следовательно: [ \angle AOB = 180^\circ - (\angle AOD + \angle BOD). ] Поскольку ( \angle AOD = \angle CAD + \angle ABE = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha ) и ( \angle BOD = \angle CBE + \angle BAD = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta ), то: [ \angle AOB = 180^\circ - (\alpha + \beta). ]

Подставляя значение (\alpha + \beta = 112^\circ), находим: [ \angle AOB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ. ]

Таким образом, угол ( \angle AOB ) равен ( 68^\circ ).

Для нахождения угла АОВ нам необходимо использовать свойство биссектрисы треугольника. Известно, что биссектриса угла треугольника делит этот угол на два равных угла. Таким образом, угол АОВ равен половине суммы углов А и С.

Угол А равен 180° - угол ВСА - угол ВАС, так как сумма углов треугольника равна 180°. Учитывая, что угол С равен 68°, угол ВСА и угол ВАС равны 68°/2 = 34°. Таким образом, угол А равен 180° - 34° - 34° = 112°.

Следовательно, угол АОВ равен (112° + 68°)/2 = 90°.