В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D, такая, что BD:ВА-1:3. Плоскость , параллельная прямой...

а) Чтобы доказать подобие треугольников DBD1 и ABC, воспользуемся критерием подобия треугольников по двум углам.

1. Так как плоскость, проходящая через точку D параллельна прямой AC, то прямая DD1 параллельна AC. Из свойства параллельности следует, что угол BDD1 равен углу BAC (как соответственные углы при параллельных прямых и секущей AB).

2. Угол DBD1 совпадает с углом ABC, так как оба угла возникают как углы между линиями BD и DD1 в первом случае и BC во втором.

Из равенства двух углов (BDD1 = BAC и DBD1 = ABC) следует, что треугольник DBD1 подобен треугольнику ABC по первому признаку подобия треугольников (два угла одного треугольника равны двум углам другого).

б) Поскольку треугольники DBD1 и ABC подобны, стороны этих треугольников пропорциональны.

Из условия BD:BA = 1:3 следует, что BD = 1/4 AB и AD = 3/4 AB. Поскольку DD1 параллельно AC и разделяет сторону AB в отношении 1:3, сторона BC также будет разделена в точке D1 в том же соотношении. То есть BD1 = 1/4 BC и CD1 = 3/4 BC.

Из подобия треугольников: DB/AB = DD1/AC = BD1/BC.

Пусть x = AC, тогда DD1 = 4 = BD1/BC AC = (1/4 BC) / BC x = 1/4 x.

Отсюда: 4 = 1/4 x, x = 4 * 4 = 16 см.

Таким образом, длина AC равна 16 см.

а) Для доказательства подобия треугольников DBD1 и ABC нужно показать, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

1. Углы: Угол DBD1 = угол ABC, так как они соответственные при параллельных прямых BD1 и AC. Угол BDD1 = угол A, так как они вертикальные. Таким образом, углы треугольников DBD1 и ABC соответственные и равны.

2. Стороны: По условию, BD:BA=1:3, значит BD=1/4BA. Также, по условию, DD1=4 см. Из подобия треугольников DBD1 и ABC следует, что соотношение сторон равно BD:BA=DD1:AC. Подставляя известные значения, получаем: 1/4BA=4/AC. Отсюда находим, что AC=16 см.

б) Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC равна 16 см.