В треугольнике АВС АВ=2 корня из двух АС=2, угол С=135 градусов найти угол А

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет найти длину стороны треугольника через длины двух других сторон и угол между ними. Теорема косинусов гласит:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma, ]

где ( c ) - сторона, лежащая против угла ( \gamma ), ( a ) и ( b ) - другие две стороны треугольника.

В данной задаче:

• ( AB = 2\sqrt{2} ) (сторона ( c )),
• ( AC = 2 ) (сторона ( a )),
• угол ( C = 135^\circ ).

Подставим данные в формулу теоремы косинусов для нахождения стороны ( BC ) (обозначим ( b )): [ BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos 135^\circ. ]

Известно, что ( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} ): [ BC^2 = 2^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ] [ BC^2 = 4 + 8 + 8 = 20. ]

Таким образом, ( BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ).

Теперь, когда известны все три стороны треугольника, можно найти угол ( A ) снова используя теорему косинусов: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A ] [ (2\sqrt{2})^2 = 2^2 + (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \cos A ] [ 8 = 4 + 20 - 8\sqrt{5} \cos A ] [ 8\sqrt{5} \cos A = 16 ] [ \cos A = \frac{16}{8\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}. ]

Теперь найдем угол ( A ): [ A = \arccos \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right). ]

Это значение угла ( A ) в радианах или градусах, в зависимости от того, как вы вычисляете арккосинус (на калькуляторе или с помощью таблиц). Учитывая, что арккосинус - функция, которая возвращает значения в пределах от (0^\circ) до (180^\circ), этот ответ будет корректным значением угла ( A ) в треугольнике.

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов.

Итак, у нас дан треугольник ABC, в котором известны стороны AB=2√2 и AC=2, а также угол C=135°. Найдем угол A.

По теореме косинусов:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc),

где a, b, c - длины сторон треугольника, а A - угол против стороны a.

Подставим известные значения:

cos(A) = (2^2 + 2^2 - (2√2)^2) / (222) = (4 + 4 - 8) / 8 = 0 / 8 = 0.

Таким образом, cos(A) = 0. Чтобы найти угол A, нужно найти обратный косинус от 0:

A = arccos(0) = 90°.

Итак, угол A в треугольнике ABC равен 90 градусов.