В треугольнике АВС АС=12 см, угол А = 75 градусов, угол С = 60 градусов. Найдите АВ и площадь треугольника.

Для решения задачи найдем сначала сторону ( AB ) и затем используем её для вычисления площади треугольника ( ABC ).

1. Нахождение стороны ( AB )

В треугольнике ( ABC ) известны:

• ( AC = 12 ) см,
• Угол ( \angle A = 75^\circ ),
• Угол ( \angle C = 60^\circ ).

Сначала найдем угол ( \angle B ). Внутренние углы треугольника в сумме дают ( 180^\circ ): [ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ. ]

Теперь используем теорему синусов для нахождения стороны ( AB ). Теорема синусов гласит: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, ] где ( a ), ( b ), ( c ) — стороны треугольника, противолежащие углам ( A ), ( B ), ( C ) соответственно.

Обозначим:

• ( a = BC ),
• ( b = AC = 12 ) см,
• ( c = AB ).

Применим теорему синусов для сторон ( AC ) и ( AB ): [ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}. ]

Подставим известные значения: [ \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin 45^\circ}. ]

Значения синусов: [ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, ] [ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Подставим их в уравнение: [ \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. ]

Упростим уравнение: [ AB \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}, ] [ AB \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{2}}, ] [ AB = \frac{24}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ] [ AB = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, ] [ AB = 12 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}. ] [ AB = 12 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}, ] [ AB = 6\sqrt{6} \text{ см}. ]

2. Нахождение площади треугольника ( ABC )

Площадь треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C, ] где ( a ) и ( b ) — две стороны треугольника, а ( \sin C ) — синус угла между ними.

Используем стороны ( AC ) и ( AB ), а также угол ( \angle C ): [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin \angle C. ]

Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Упростим: [ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, ] [ S = 6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{18}}{2}, ] [ S = 36 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}, ] [ S = 36 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}, ] [ S = 36 \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}, ] [ S = 54\sqrt{2} \text{ см}^2. ]

Таким образом, сторона ( AB ) равна ( 6\sqrt{6} ) см, а площадь треугольника ( ABC ) равна ( 54\sqrt{2} \text{ см}^2 ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой синусов. Сначала найдем сторону АВ. Из угла С=60 градусов следует, что угол В=180-75-60=45 градусов. Теперь мы можем воспользоваться теоремой синусов: (AB/sinA) = (AC/sinB) (AB/sin75) = (12/sin45) AB = (12 * sin75) / sin45 ≈ 14.88 см

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти по формуле: S = 0.5 AB AC sinC S = 0.5 14.88 12 sin60 ≈ 50.90 кв. см

Итак, сторона AB равна примерно 14.88 см, а площадь треугольника составляет около 50.90 кв. см.