В треугольнике ABC угол С равен 90° tgA=3√10/20 BC=3. Найдите АВ

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике. Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Таким образом, tgA = AB/BC.

Подставим известные значения в формулу: 3√10/20 = AB/3.

Упростим уравнение: AB = 3 * 3√10 / 20 = 9√10 / 20.

Таким образом, длина стороны AB равна 9√10 / 20.

Для решения данной задачи нужно использовать теорему Пифагора и формулу тангенса. Сначала найдем катеты треугольника ABC: tg(A) = AB/BC 3√10/20 = AB/3 AB = 3√10/20 * 3 = 9√10/20 = 9/2√10

Ответ: AB = 9/2√10

В треугольнике ( \triangle ABC ), где угол ( C ) равен ( 90^\circ ), мы знаем, что ( \tan A = \frac{3\sqrt{10}}{20} ) и ( BC = 3 ).

В правом треугольнике ( \tan A ) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, если ( \angle C = 90^\circ ), то катет ( BC ) является прилежащим к углу ( A ), а катет ( AB ) является гипотенузой.

Следовательно, ( \tan A = \frac{AB}{BC} ).

Подставим известные значения в формулу:

[ \tan A = \frac{3\sqrt{10}}{20} = \frac{AB}{3} ]

Теперь выразим ( AB ):

[ AB = 3 \cdot \frac{3\sqrt{10}}{20} = \frac{9\sqrt{10}}{20} = \frac{9\sqrt{10}}{20} ]

Теперь найдём точное значение ( AB ) с использованием теоремы Пифагора. Поскольку ( \angle C = 90^\circ ), у нас есть:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Отсюда:

[ AC = \frac{9\sqrt{10}}{20} ]

И:

[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{\left(\frac{9\sqrt{10}}{20}\right)^2 + 3^2} ]

Теперь подставим и посчитаем:

[ AC^2 = \left(\frac{9\sqrt{10}}{20}\right)^2 = \frac{81 \times 10}{400} = \frac{810}{400} = \frac{81}{40} ]

[ BC^2 = 3^2 = 9 ]

[ AB^2 = \frac{81}{40} + 9 = \frac{81}{40} + \frac{360}{40} = \frac{441}{40} ]

[ AB = \sqrt{\frac{441}{40}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{40}} = \frac{21}{2\sqrt{10}} ]

Таким образом, точное значение ( AB ) будет:

[ AB = \frac{21}{2\sqrt{10}} ]

Это значение можно упростить, умножив числитель и знаменатель на (\sqrt{10}), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

[ AB = \frac{21\sqrt{10}}{20} ]

Следовательно, длина гипотенузы ( AB ) равна (\frac{21\sqrt{10}}{20}).