В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, sinA равен 3/20, AC равно корень из 391. Найти АВ
В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, sinA равен 3/20, AC равно корень из 391. Найти АВ
Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.
Дано:
Нам нужно найти гипотенузу ( AB ).
Вспомним определение синуса в прямоугольном треугольнике: [ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ] Здесь, противолежащий катет углу (A) — это сторона (BC), а гипотенуза — это (AB).
Таким образом: [ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{20} ]
Обозначим гипотенузу (AB) за (c). Тогда: [ \frac{BC}{c} = \frac{3}{20} ] Отсюда: [ BC = \frac{3}{20} \cdot c ]
Теперь используем теорему Пифагора для треугольника (ABC): [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] Подставим известные значения и выражение для (BC): [ c^2 = (\sqrt{391})^2 + \left(\frac{3}{20} \cdot c\right)^2 ]
Упростим уравнение: [ c^2 = 391 + \left(\frac{3}{20} \cdot c\right)^2 ] [ c^2 = 391 + \frac{9}{400} c^2 ]
Перенесем все члены с (c^2) в одну часть уравнения: [ c^2 - \frac{9}{400} c^2 = 391 ] [ \left(1 - \frac{9}{400}\right) c^2 = 391 ] [ \frac{391}{400} c^2 = 391 ]
Упростим и решим уравнение: [ c^2 = 391 \cdot \frac{400}{391} ] [ c^2 = 400 ] [ c = \sqrt{400} ] [ c = 20 ]
Таким образом, гипотенуза ( AB ) равна 20.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, так как угол C равен 90 градусов.
Из теоремы Пифагора мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. То есть, AC^2 = AB^2 + BC^2.
Из условия известно, что AC = √391 и угол C равен 90 градусов, следовательно, BC = √(AC^2 - AB^2) = √(391 - AB^2).
Также известно, что sinA = 3/20. По определению sinA = противолежащий катет / гипотенуза. То есть, AB/AC = 3/20.
Теперь можем составить уравнение: AB/√391 = 3/20, AB = 3√391 / 20.
Теперь подставим это значение в уравнение для BC: √(391 - (3√391 / 20)^2) = √(391 - 1179/400) = √(156724/400) = √391.
Таким образом, сторона AB треугольника ABC равна 3√391 / 20.
