В треугольнике abc угол c равен 90 а угол a равен 60 ab=2 корень из 3 найдите bc

В треугольнике ( ABC ), где (\angle C = 90^\circ) и (\angle A = 60^\circ), мы имеем дело с прямоугольным треугольником. Давайте разберёмся, как найти длину стороны ( BC ), используя известные данные.

1. Угол ( A ): (\angle A = 60^\circ). Это значит, что (\angle B) должен быть (30^\circ), так как сумма углов в треугольнике равна (180^\circ) и (\angle C = 90^\circ).

2. Тип треугольника: Поскольку у нас есть углы (60^\circ), (30^\circ) и (90^\circ), это (30^\textdegree-60^\textdegree-90^\textdegree) треугольник, который имеет особые соотношения сторон. В таком треугольнике:

   • Гипотенуза (напротив угла (90^\circ)) вдвое больше короткой стороны (напротив угла (30^\circ)).
   • Длинная сторона (напротив угла (60^\circ)) равна (\sqrt{3}) умноженной на короткую сторону.

3. Длина ( AB ): Дано, что ( AB = 2\sqrt{3} ). Это гипотенуза, так как она напротив угла (90^\circ).

4. Соотношение сторон: Пусть короткая сторона ( AC ) равна ( x ). Тогда гипотенуза ( AB = 2x), и из условия мы знаем, что ( 2x = 2\sqrt{3} ).

5. Решение для ( x ): [ 2x = 2\sqrt{3} \implies x = \sqrt{3} ]

6. Вычисление ( BC ): Длинная сторона ( BC ), которая находится напротив угла (60^\circ), равна (\sqrt{3}) умноженной на короткую сторону: [ BC = x\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 ]

Таким образом, длина стороны ( BC ) равна ( 3 ).

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим стороны треугольника ABC: AB = a, BC = b, AC = c. Также обозначим углы: ∠BAC = α, ∠ABC = β, ∠ACB = γ.

Из условия задачи у нас дано, что угол C равен 90 градусов, а угол A равен 60 градусов. Тогда угол B равен 180 - 90 - 60 = 30 градусов.

Теперь запишем теорему косинусов для угла B: (b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos{\beta}).

Подставляем известные значения: (b^2 = (2\sqrt{3})^2 + c^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot c \cdot \cos{30^\circ}).

(b^2 = 4 \cdot 3 + c^2 - 4c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}).

(b^2 = 12 + c^2 - 2\sqrt{3}c).

Так как у нас известно, что треугольник ABC - прямоугольный и угол C равен 90 градусов, то по теореме Пифагора (a^2 + b^2 = c^2), где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Подставим полученное уравнение для b в уравнение Пифагора: ((2\sqrt{3})^2 + 12 + c^2 - 2\sqrt{3}c = c^2).

Упростим: (12 + 12 - 2\sqrt{3}c = 0).

(24 - 2\sqrt{3}c = 0).

(2\sqrt{3}c = 24).

(c = \frac{24}{2\sqrt{3}}).

(c = \frac{12}{\sqrt{3}}).

(c = \frac{12\sqrt{3}}{3}).

(c = 4\sqrt{3}).

Итак, длина стороны BC равна 4 корень из 3.