В треугольнике ABC стороны AB и AC равны соответственно 8 и 7, угол BAC равен 120 градусам.Найти расстояние...

Для решения задачи предлагаю детально разобраться с треугольником и вычислениями. Включим геометрические и тригонометрические соображения.

Дано:

• Треугольник ( ABC );
• ( AB = 8 );
• ( AC = 7 );
• Угол ( \angle BAC = 120^\circ ).

Нужно найти расстояние от основания высоты, опущенной на сторону ( AC ), до середины стороны ( BC ).

1. Использование теоремы косинусов для нахождения стороны ( BC )

Сторону ( BC ) можно найти, воспользовавшись теоремой косинусов:

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC). ]

Подставляем значения: [ BC^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos(120^\circ). ]

Значение ( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ), так как угол ( 120^\circ ) находится во второй четверти.

[ BC^2 = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right). ]

Упростим: [ BC^2 = 64 + 49 + 56 = 169. ]

[ BC = \sqrt{169} = 13. ]

Итак, ( BC = 13 ).

2. Координатное задание треугольника

Для более удобных вычислений перейдем к системе координат. Пусть вершина ( A ) находится в начале координат ( (0, 0) ). Тогда:

• ( B ) имеет координаты ( (8, 0) ), так как ( AB = 8 ) и точка ( B ) лежит на оси ( x );
• ( C ) имеет координаты ( (7 \cos(120^\circ), 7 \sin(120^\circ)) ).

Вычисляем координаты ( C ): [ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}, \quad \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

[ C = \left( 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right), 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = (-\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{2}). ]

Итак, координаты вершин:

• ( A(0, 0) ),
• ( B(8, 0) ),
• ( C\left(-\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{2}\right) ).

3. Уравнение прямой ( AC )

Прямая ( AC ) задается через уравнение прямой, проходящей через точки ( A(0, 0) ) и ( C\left(-\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{2}\right) ). Уравнение прямой имеет вид: [ y = kx, ] где ( k ) — угловой коэффициент. Найдем его: [ k = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{\frac{7\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{7}{2} - 0} = -\sqrt{3}. ]

Уравнение прямой: [ y = -\sqrt{3}x. ]

4. Высота из вершины ( B ) на ( AC )

Высота из точки ( B(8, 0) ) опускается перпендикулярно прямой ( AC ). Уравнение прямой, перпендикулярной ( AC ), имеет угловой коэффициент, равный ( \frac{1}{\sqrt{3}} ) (перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты ( k_1 ) и ( k_2 ), такие что ( k_1 \cdot k_2 = -1 )).

Уравнение высоты: [ y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 8). ]

5. Точка пересечения высоты и прямой ( AC )

Для нахождения основания высоты найдем точку пересечения прямых ( y = -\sqrt{3}x ) и ( y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 8) ). Приравниваем ( y ): [ -\sqrt{3}x = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 8). ]

Умножим уравнение на ( \sqrt{3} ), чтобы избавиться от дробей: [ -3x = x - 8\sqrt{3}. ]

Переносим все с ( x ) в одну сторону: [ -3x - x = -8\sqrt{3}. ]

[ -4x = -8\sqrt{3}. ]

[ x = 2\sqrt{3}. ]

Найдем ( y ), подставив ( x = 2\sqrt{3} ) в уравнение ( y = -\sqrt{3}x ): [ y = -\sqrt{3}(2\sqrt{3}) = -6. ]

Точка пересечения (основание высоты): [ P\left(2\sqrt{3}, -6\right). ]

6. Середина стороны ( BC )

Координаты середины ( BC ) находятся по формуле: [ M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right). ]

Подставляем координаты ( B(8, 0) ) и ( C\left(-\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{2}\right) ): [ M_x = \frac{8 + \left(-\frac{7}{2}\right)}{2} = \frac{\frac{16}{2} - \frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{9}{4}. ]

[ M_y = \frac{0 + \frac{7\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{7\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}. ]

Итак, координаты середины: [ M\left(\frac{9}{4}, \frac{7\sqrt{3}}{4}\right). ]

7. Расстояние между точками ( P ) и ( M )

Расстояние между точками ( P(2\sqrt{3}, -6) ) и ( M\left(\frac{9}{4}, \frac{7\sqrt{3}}{4}\right) ) вычисляется по формуле: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Подставляем координаты: [ d = \sqrt{\left(\frac{9}{4} - 2\sqrt{3}\right)^2 + \left(\frac{7\sqrt{3}}{4} - (-6)\right)^2}. ]

Упростим выражения под корнем.

Решим задачу по нахождению расстояния от основания высоты, опущенной на сторону AC в треугольнике ABC, до середины стороны BC.

Шаг 1: Построение треугольника

1. Начертим треугольник ABC, где AB = 8, AC = 7, и угол BAC = 120°.
2. Обозначим точки:
   • A – вершина треугольника,
   • B и C – основания.

Шаг 2: Находим координаты вершин

1. Разместим точку A в начале координат (0, 0).
2. Пусть точка B находится на оси X: B(8, 0).
3. Для нахождения координат точки C воспользуемся углом BAC. Угол 120° соответствует углу между вектором AB и вектором AC.

Координаты точки C можно найти следующим образом:

• Угол между положительным направлением оси X и вектором AC равен 120°.
• Длина AC = 7.

Координаты точки C: [ C_x = AC \cdot \cos(120^\circ) = 7 \cdot \cos(120^\circ) = 7 \cdot (-0.5) = -3.5, ] [ C_y = AC \cdot \sin(120^\circ) = 7 \cdot \sin(120^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}. ] Таким образом, координаты точки C: ( C(-3.5, \frac{7\sqrt{3}}{2}) ).

Шаг 3: Находим координаты точки H (основание высоты)

1. Высота CH опущенная на сторону AC, перпендикулярна AC.
2. Найдем уравнение прямой AC. Угол наклона AC можно найти по координатам A и C: [ k_{AC} = \frac{C_y - A_y}{C_x - A_x} = \frac{\frac{7\sqrt{3}}{2} - 0}{-3.5 - 0} = -\frac{7\sqrt{3}}{7} = -\sqrt{3}. ] Уравнение прямой AC имеет вид: [ y = -\sqrt{3}x + b. ] Для нахождения b подставим координаты A(0, 0): [ 0 = -\sqrt{3}(0) + b \Rightarrow b = 0. ] Таким образом, уравнение прямой AC: [ y = -\sqrt{3}x. ]

Шаг 4: Находим координаты точки H

1. Уравнение прямой CH (перпендикулярной AC) имеет наклон, равный обратному (в противофазе) наклону AC: [ k_{CH} = \frac{1}{\sqrt{3}}. ] Уравнение прямой CH проходит через точку C(-3.5, (\frac{7\sqrt{3}}{2})): [ y - \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x + 3.5). ]

Решаем это уравнение для нахождения H.

Шаг 5: Находим координаты точки M (середина BC)

1. Сначала найдем координаты точки B(8, 0) и C(-3.5, (\frac{7\sqrt{3}}{2})).
2. Середина M BC: [ M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{8 - 3.5}{2} = \frac{4.5}{2} = 2.25, ] [ M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{0 + \frac{7\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}. ] Таким образом, координаты точки M: ( M(2.25, \frac{7\sqrt{3}}{4}) ).

Шаг 6: Находим расстояние от точки H до точки M

1. Используем формулу расстояния между двумя точками: [ d = \sqrt{(M_x - H_x)^2 + (M_y - H_y)^2}. ] Здесь H – координаты основания высоты, которые мы нашли ранее.

Заключение

Подставив найденные значения координат H и M в формулу расстояния, мы получим искомое расстояние от основания высоты до середины стороны BC. Это расстояние и будет ответом на наш вопрос.

Для решения задачи найдем сначала длину стороны BC, используя закон косинусов.

Длина стороны ( BC ) рассчитывается по формуле:

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) ]

Подставим известные значения:

[ BC^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos(120^\circ) ] [ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ]

Подставляем это значение:

[ BC^2 = 64 + 49 + 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} ] [ BC^2 = 64 + 49 + 56 = 169 ] [ BC = \sqrt{169} = 13 ]

Теперь найдем координаты точек. Предположим, что точка ( A ) находится в начале координат ((0, 0)), точка ( B ) на оси ( x ) в ((8, 0)), и угол ( BAC ) равен 120 градусам.

Координаты точки ( C ) будут:

[ C_x = AC \cdot \cos(120^\circ) = 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3.5 ] [ C_y = AC \cdot \sin(120^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} ]

Таким образом, координаты точек:

• ( A(0, 0) )
• ( B(8, 0) )
• ( C(-3.5, \frac{7\sqrt{3}}{2}) )

Теперь найдем середину отрезка ( BC ):

Координаты середины ( M ) отрезка ( BC ):

[ M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{8 + (-3.5)}{2} = \frac{4.5}{2} = 2.25 ] [ M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{0 + \frac{7\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4} ]

Теперь найдем расстояние от основания высоты, опущенной на ( AC ), до точки ( M ). Высота ( h ) из точки ( B ) на сторону ( AC ) будет перпендикулярна ( AC ). Уравнение прямой ( AC ) можно найти через точки ( A ) и ( C ).

Направляющий вектор ( AC ) определим как ( (C_x - A_x, C_y - A_y) = (-3.5, \frac{7\sqrt{3}}{2}) ).

Найдем уравнение прямой ( AC ):

[ y = kx + b, \quad k = \frac{C_y - A_y}{C_x - A_x} = \frac{\frac{7\sqrt{3}}{2}}{-3.5} = -\frac{7\sqrt{3}}{7} = -\sqrt{3} ]

Следовательно, уравнение прямой ( AC ):

[ y = -\sqrt{3}x + b ]

Для нахождения ( b ) подставим координаты точки ( A(0, 0) ):

[ 0 = -\sqrt{3} \cdot 0 + b \implies b = 0 ]

Таким образом, уравнение прямой ( AC ) имеет вид:

[ y = -\sqrt{3}x ]

Теперь найдём расстояние от точки ( M(2.25, \frac{7\sqrt{3}}{4}) ) до прямой ( AC ) с помощью формулы расстояния от точки до прямой:

[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ]

где ( A = \sqrt{3}, B = 1, C = 0 ), ( x_0 = 2.25, y_0 = \frac{7\sqrt{3}}{4} ):

[ d = \frac{|\sqrt{3} \cdot 2.25 + 1 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{4}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3} \cdot 2.25 + \frac{7\sqrt{3}}{4}|}{2} = \frac{|(2.25 + \frac{7}{4})\sqrt{3}|}{2} ]

Расстояние от основания высоты до середины ( BC ) равно найденному значению ( d ).

Для окончательного результата подставьте значения и посчитайте.