В треугольнике ABC площади 18 проведены отрезки ВМ и АК, причем точки Ми К делят соответственно стороны...

Для того чтобы найти площадь четырехугольника (СМРК), можно воспользоваться свойствами площади треугольников и отношениями, которые задаются условиями задачи.

1. Изначальная информация и обозначения:

   • Площадь (\triangle ABC = 18).
   • (AM : MC = 3 : 4).
   • (BK : KC = 2 : 7).

2. Используем теорему о медианах треугольника:

   • Точка (M) делит сторону (AC) в отношении 3:4, следовательно, ( \frac{AM}{MC} = \frac{3}{4} ).
   • Точка (K) делит сторону (BC) в отношении 2:7, следовательно, ( \frac{BK}{KC} = \frac{2}{7} ).

3. Площадь треугольников:

   • Сначала найдем площадь треугольника (ABM). Так как (M) делит сторону (AC) в отношении (3:4), то площадь (\triangle ABM) будет составлять (\frac{3}{7}) от площади (\triangle ABC) (поскольку площадь треугольника делится в том же отношении, что и медиана). Таким образом: [ \text{Площадь } \triangle ABM = 18 \times \frac{3}{7} = \frac{54}{7} ]

   • Теперь найдем площадь треугольника (AKC). Поскольку (K) делит сторону (BC) в отношении (2:7), то площадь (\triangle AKC) будет составлять (\frac{7}{9}) от площади (\triangle ABC) (так как площадь треугольника делится в том же отношении, что и медиана). Таким образом: [ \text{Площадь } \triangle AKC = 18 \times \frac{7}{9} = 14 ]

4. Определяем площадь четырехугольника (СМРК):

   • Заметим, что (\triangle ABM) и (\triangle AKC) перекрываются в области четырехугольника (СМРК).
   • Площадь (\triangle BMC = \text{Площадь } \triangle ABC - \text{Площадь } \triangle ABM = 18 - \frac{54}{7} = \frac{72}{7}).
   • Площадь (\triangle AKC = 14).

5. Площадь четырехугольника:

   • Следовательно, площадь четырехугольника (СМРК) равна: [ \text{Площадь } \triangle ABC - (\text{Площадь } \triangle ABM + \text{Площадь } \triangle AKC) + \text{Площадь } \triangle BMC = 18 - \left(\frac{54}{7} + 14\right) + \frac{72}{7} ]
   • Упростив, получаем: [ \text{Площадь } СМРК = 18 - \frac{54}{7} - 14 + \frac{72}{7} = 18 - \frac{54}{7} - \frac{98}{7} + \frac{72}{7} = 18 - \frac{80}{7} = \frac{126}{7} - \frac{80}{7} = \frac{46}{7} \approx 6.57 ]

Таким образом, площадь четырехугольника (СМРК) составляет приблизительно (6.57).

Для начала найдем длины отрезков AM и MC. Пусть длина стороны AC равна x, тогда AM = 3x / (3+4) = 3x / 7 и MC = 4x / 7.

Аналогично найдем длины отрезков VK и KC. Пусть длина стороны BC равна y, тогда VK = 2y / (2+7) = 2y / 9 и KC = 7y / 9.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Пусть h - высота треугольника, тогда 18 = (1/2) x h, откуда h = 36 / x.

Теперь можем найти площадь треугольника AMR через высоту, опущенную из вершины M на сторону AR: S_AMR = (1/2) AM h = (1/2) (3x/7) (36/x) = 54/7.

Аналогично найдем площадь треугольника CKR: S_CKR = (1/2) KC h = (1/2) (7y/9) (36/y) = 14.

Таким образом, площадь четырехугольника SMRK равна сумме площадей треугольников AMR и CKR: S_SMRC = S_AMR + S_CKR = 54/7 + 14 = 212/7.

Итак, площадь четырехугольника SMRK равна 212/7.

Площадь четырехугольника СМРК равна 8.