В треугольнике ABC: AB=BC, AC=4 корня из 3, угол C=30 градусов. Найдите высоту BH.

Для решения задачи о нахождении высоты BH в треугольнике ABC, где AB = BC, AC = 4√3 и угол C = 30°, начнем с того, что треугольник ABC является равнобедренным, так как стороны AB и BC равны.

1. Найдем длину сторон AB и BC: Обозначим длину сторон AB и BC как ( x ). В треугольнике ABC, согласно теореме косинусов, можем записать: [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(C) ] Подставим известные значения: [ (4\sqrt{3})^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(30^\circ) ] Зная, что (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), упростим выражение: [ 48 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ 48 = 2x^2(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) ] [ 48 = 2x^2 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} ] [ 48 = x^2(2 - \sqrt{3}) ] Теперь решим относительно ( x^2 ): [ x^2 = \frac{48}{2 - \sqrt{3}} ] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы избавиться от иррациональности: [ x^2 = \frac{48(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{48(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 48(2 + \sqrt{3}) ] [ x = \sqrt{48(2 + \sqrt{3})} ]

2. Найдем высоту BH: Чтобы найти высоту BH, воспользуемся формулой для площади треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH ] Также площадь можно выразить через стороны AB и BC и угол C: [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(C) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{x^2}{4} ] Теперь приравняем две формулы для площади: [ \frac{x^2}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot BH ] [ \frac{x^2}{4} = 2\sqrt{3} \cdot BH ] Выразим BH: [ BH = \frac{x^2}{8\sqrt{3}} ] Теперь подставим ( x^2 = 48(2 + \sqrt{3}) ): [ BH = \frac{48(2 + \sqrt{3})}{8\sqrt{3}} = \frac{6(2 + \sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} + 6 ]

3. Упростим выражение: Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}): [ BH = \frac{12\sqrt{3}}{3} + 6 = 4\sqrt{3} + 6 ]

Таким образом, высота BH в треугольнике ABC равна ( 4\sqrt{3} + 6 ) единиц.

В треугольнике ABC, так как AB = BC, он является равнобедренным. Угол C равен 30 градусам, значит углы A и B равны и составляют по 75 градусов.

Для нахождения высоты BH, можно использовать формулу для высоты в равнобедренном треугольнике:

[ h = AC \cdot \sin(\angle A) ]

Сначала находим сторону AB (или BC) по формуле:

[ AB = \frac{AC}{\cos(\angle C/2)} = \frac{4 \sqrt{3}}{\cos(15^\circ)} ]

Затем используем высоту:

[ BH = AB \cdot \sin(30^\circ) ]

Так как ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ):

[ BH = AB \cdot \frac{1}{2} ]

Подставив значение AB, можно найти высоту BH.

Решив, получаем:

[ BH = 4 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2 \sqrt{3} ]

Ответ: ( BH = 2\sqrt{3} ).

Давайте подробно разберем задачу и найдем высоту ( BH ) в треугольнике ( \triangle ABC ), где ( AB = BC ), ( AC = 4\sqrt{3} ), и угол ( \angle C = 30^\circ ). Так как ( AB = BC ), треугольник является равнобедренным.

1. Анализ треугольника и обозначения

• ( AB = BC ), значит ( \triangle ABC ) равнобедренный.
• ( \angle C = 30^\circ ), это угол между сторонами ( AC ) и ( BC ).
• Высота ( BH ), которую нужно найти, опущена из вершины ( B ) на основание ( AC ). В равнобедренном треугольнике такая высота является также медианой и биссектрисой, поэтому она делит ( AC ) пополам: [ AH = HC = \frac{AC}{2}. ]

2. Найдем длину ( AH ) и ( HC )

Так как ( AC = 4\sqrt{3} ), то: [ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}. ]

3. Работа с треугольником ( \triangle ABH )

Рассмотрим треугольник ( \triangle ABH ). Он прямоугольный, так как ( BH ) — это высота. В этом треугольнике:

• Гипотенуза ( AB = BC ), обозначим её ( x ).
• Катет ( AH = 2\sqrt{3} ).
• Нужно найти второй катет ( BH ).

4. Связь углов и сторон

В треугольнике ( \triangle ABC ) по известным данным можно применить теорему косинусов для нахождения стороны ( AB ) (или ( BC )).

По теореме косинусов: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C). ] Так как ( AB = BC ), обозначим ( AB = BC = x ). Тогда: [ x^2 = AC^2 + x^2 - 2 \cdot AC \cdot x \cdot \cos(30^\circ). ] Подставим значения:

• ( AC = 4\sqrt{3} ),
• ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).

Получаем: [ x^2 = (4\sqrt{3})^2 + x^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ] Упростим: [ x^2 = 48 + x^2 - 4\sqrt{3} \cdot x \cdot \sqrt{3}. ] [ x^2 = 48 + x^2 - 12x. ] Сократим ( x^2 ) с обеих сторон: [ 0 = 48 - 12x. ] [ 12x = 48 \quad \Rightarrow \quad x = 4. ] Итак, ( AB = BC = 4 ).

5. Найдем высоту ( BH )

Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle ABH ), где:

• ( AB = 4 ) — гипотенуза,
• ( AH = 2\sqrt{3} ) — катет,
• ( BH ) — второй катет, который нужно найти.

По теореме Пифагора: [ AB^2 = AH^2 + BH^2. ] Подставим значения: [ 4^2 = (2\sqrt{3})^2 + BH^2. ] [ 16 = 12 + BH^2. ] [ BH^2 = 16 - 12 = 4. ] [ BH = \sqrt{4} = 2. ]

Ответ:

Высота ( BH ) равна ( 2 ).