В треугольник с основанием 12 см и высотой 4 см вписан прямоугольник, стороны которого относятся как...

Для решения задачи начнем с определения площади треугольника, в который вписан прямоугольник.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h ]

где (a) — основание треугольника, а (h) — высота треугольника. В нашем случае:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{см} \cdot 4 \, \text{см} = 24 \, \text{см}^2 ]

Теперь мы знаем, что площадь треугольника равна 24 см².

Далее, вписанный прямоугольник имеет стороны, которые соотносятся как 5:9. Обозначим меньшую сторону прямоугольника как (5x) и большую сторону как (9x). Так как большая сторона принадлежит основанию треугольника, то:

[ 9x \leq 12 \, \text{см} ]

Из этого неравенства можем выразить (x):

[ x \leq \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \, \text{см} ]

Теперь найдем максимальную площадь прямоугольника, которую он может занять в треугольнике. Площадь прямоугольника будет равна:

[ S_{прямоугольника} = 5x \cdot 9x = 45x^2 ]

Мы знаем, что площадь прямоугольника должна быть меньше или равна площади треугольника:

[ 45x^2 \leq 24 ]

Решим это неравенство:

[ x^2 \leq \frac{24}{45} = \frac{8}{15} ]

Следовательно,

[ x \leq \sqrt{\frac{8}{15}} \approx 0.73 \, \text{см} ]

Теперь подставим найденное значение (x) в формулы для сторон прямоугольника:

• Меньшая сторона:

[ 5x \leq 5 \cdot \sqrt{\frac{8}{15}} \approx 5 \cdot 0.73 \approx 3.65 \, \text{см} ]

• Большая сторона:

[ 9x \leq 9 \cdot \sqrt{\frac{8}{15}} \approx 9 \cdot 0.73 \approx 6.57 \, \text{см} ]

Таким образом, стороны вписанного прямоугольника составляют примерно:

• Меньшая сторона: (3.65 \, \text{см})
• Большая сторона: (6.57 \, \text{см})

Итак, стороны прямоугольника, вписанного в треугольник с основанием 12 см и высотой 4 см, равны примерно 3.65 см и 6.57 см.

Давайте вместе разберем задачу. Для этого будем решать её поэтапно.

Дано:

1. Основание треугольника ( AB = 12 \, \text{см} ).
2. Высота треугольника ( h = 4 \, \text{см} ), опущенная на основание ( AB ).
3. В треугольник вписан прямоугольник, у которого:
   • Стороны относятся как ( 5:9 ).
   • Большая сторона ( x ) лежит на основании ( AB ).

Требуется найти длины сторон прямоугольника.

Решение:

1. Введение обозначений

Обозначим стороны прямоугольника как ( x ) (большая сторона, лежащая на основании ( AB )) и ( y ) (меньшая сторона, перпендикулярная основанию ( AB )).

Так как стороны прямоугольника ( x ) и ( y ) пропорциональны ( 5:9 ), запишем их через коэффициент пропорциональности ( k ): [ x = 9k, \quad y = 5k. ]

2. Свойства вписанного прямоугольника

Прямоугольник вписан в треугольник, а это означает, что его вершины лежат на двух боковых сторонах треугольника и на его основании. Следовательно, высота треугольника, проходящая через вершины прямоугольника, будет уменьшаться по мере приближения к основанию.

Теперь выразим высоту треугольника, соответствующую меньшей стороне прямоугольника ( y ), через её положение в треугольнике.

3. Выражение высоты треугольника через основание

Высота треугольника ( h = 4 \, \text{см} ) уменьшается линейно от вершины треугольника до основания. Если основание ( AB ) сократилось от ( 12 \, \text{см} ) до ( x \, \text{см} ), то высота над этим основанием будет пропорционально уменьшаться.

Так как прямоугольник касается боковых сторон треугольника, его меньшая сторона ( y ) равна высоте треугольника, соответствующей основанию ( x ). В треугольнике высота над частью основания ( x ) пропорциональна соотношению оснований ( x/12 ). Таким образом: [ y = h \cdot \frac{x}{12}. ]

Подставляем ( h = 4 ): [ y = 4 \cdot \frac{x}{12} = \frac{x}{3}. ]

4. Связь через пропорциональность сторон

Мы уже знаем, что стороны прямоугольника относятся как ( 5:9 ), то есть ( y = \frac{5}{9}x ). Подставим это равенство: [ y = \frac{x}{3}. ]

Сравним два выражения для ( y ): [ \frac{5}{9}x = \frac{x}{3}. ]

Умножим обе части на ( 9 ), чтобы избавиться от дробей: [ 5x = 3x. ]

Эту систему можно решать для нах.