В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность с центром O касающаяся сторон AB BC CA в точках...

a) Радиус окружности можно найти по формуле r = OC - CD (где r - радиус окружности, OC - длина радиуса вписанной окружности, CD - длина отрезка, проведенного от точки касания окружности с стороной треугольника до вершины треугольника). Так как OC = 2√2 см, то r = 2√2 - CD.

b) Чтобы найти углы EOF и EDF, нужно заметить, что треугольник DEF - это прямоугольный треугольник, так как точка O - центр вписанной окружности, а значит, радиус окружности является высотой треугольника DEF, проведенной к гипотенузе. Таким образом, углы EOF и EDF равны 90 градусов.

а) Радиус окружности равен OC = 2√2 см. б) Углы EOF и EDF равны 45 градусов каждый.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства вписанных и описанных окружностей, а также свойства прямоугольных треугольников.

а) Находим радиус окружности.

Точка O - центр вписанной окружности, лежит на расстоянии равном радиусу r от всех трёх сторон треугольника ABC. Учитывая, что OC = 2√2 см, и что OC также является перпендикуляром от центра вписанной окружности к гипотенузе AB, следует, что радиус окружности r равен 2√2 см.

б) Находим углы EOF и EDF.

1. Угол EOF — это угол между касательными к окружности из точки O на сторонах AC и BC. Поскольку касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны и образуют с радиусом прямой угол, угол между ними будет равен углу ∠COA. Т.к. треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C, ∠ACB = 90°, и поскольку O находится внутри треугольника, ∠EOF = 90°.

2. Угол EDF — аналогично, это угол между касательными к окружности из точки O на сторонах AB и BC. Рассуждения аналогичны предыдущим, и ∠EDF также будет равен 90°.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2√2 см, а углы EOF и EDF равны 90° каждый.