В, трапеции, ABCD, угол, A, равен, 90, градусов, боковая, сторона, CD, перпендикулярна, диагонали, AC...

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — её основания, а боковые стороны — $AD$ и $BC$. Даны следующие условия:

• Угол $A$ равен 90 градусам, следовательно, $AD\perp AB$.
• Боковая сторона $CD$ перпендикулярна диагонали $AC$.
• $CD=3$ см.
• $AD=5$ см.

1. Нахождение площади трапеции $ABCD$

Для начала, определим длину основания $AB$. Так как угол $A$ равен 90 градусам, то $AB$ и $AD$ формируют прямоугольный треугольник с гипотенузой $AC$.

Пусть $AC=x$. Тогда из условия перпендикулярности $CD$ и $AC$ следует, что $CD$ — это высота, опущенная на гипотенузу $AC$ в прямоугольном треугольнике $ACD$.

Используем теорему Пифагора для треугольника $ACD$: $AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$

Теперь найдём длину основания $AB$. Поскольку $AB$ — это катет в прямоугольном треугольнике $AAB$:

$AB=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{(\sqrt{34}{)}^2-5^2}=\sqrt{34-25}=\sqrt{9}=3\text{ см}$

Теперь найдём площадь трапеции $ABCD$. Площадь трапеции вычисляется как: $S=\frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$

где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — высота.

В данном случае основания $AB=3$ см и $CD=3$ см, высота $h=AD=5$ см. Подставим данные значения в формулу: $S=\frac{1}{2}\cdot (3+3)\cdot 5=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5=15{\text{ см}}^2$

1. Нахождение площади треугольника $AMD$

Треугольник $AMD$ — это половина треугольника $ACD$, так как $M$ — середина $CD$.

Площадь треугольника $ACD$ найдем по формуле для площади треугольника: $S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3=\frac{15}{2}=7.5{\text{ см}}^2$

Поскольку $M$ — середина $CD$, площадь треугольника $AMD$ будет половиной площади треугольника $ACD$: [ S{AMD} = \frac{1}{2} \cdot S{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 7.5 = 3.75 \text{ см}^2 ]

Итак, ответы:

1. Площадь трапеции $ABCD$ равна 15 см².
2. Площадь треугольника $AMD$ равна 3.75 см².

1) Для нахождения площади трапеции ABCD воспользуемся формулой: S = $a+b$ * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Так как у нас даны стороны AD и CD, то можем найти основания a и b: a = AD = 5 см, b = CD = 3 см.

Также нам дано, что CD перпендикулярна диагонали AC, а угол A равен 90 градусов. Значит, треугольник ACD - прямоугольный. Используем теорему Пифагора: AC^2 = AD^2 + CD^2, AC^2 = 5^2 + 3^2, AC^2 = 25 + 9, AC^2 = 34, AC = √34 ≈ 5.83 см.

Теперь найдем высоту трапеции h, которая равна расстоянию между основаниями и проходит через вершину угла A: h = AC = √34 ≈ 5.83 см.

Теперь можем найти площадь трапеции: S = $a+b$ h / 2, S = $5+3$ 5.83 / 2, S = 8 * 5.83 / 2, S = 46.64 / 2, S = 23.32 см².

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 23.32 см².

2) Для нахождения площади треугольника AMD воспользуемся формулой для площади треугольника: S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, h - высота треугольника.

Так как M - середина CD, то AM = MD = CD / 2 = 3 / 2 = 1.5 см.

Также мы уже нашли высоту трапеции h = √34 ≈ 5.83 см.

Теперь можем найти площадь треугольника AMD: S = 0.5 a h, S = 0.5 3 5.83, S = 1.5 * 5.83, S = 8.745 см².

Ответ: площадь треугольника AMD равна 8.745 см².