В, трапеции, ABCD, угол, A, равен, 90, градусов, боковая, сторона, CD, перпендикулярна, диагонали, AC...

Рассмотрим трапецию (ABCD), где (AB) и (CD) — её основания, а боковые стороны — (AD) и (BC). Даны следующие условия:

• Угол (A) равен 90 градусам, следовательно, (AD \perp AB).
• Боковая сторона (CD) перпендикулярна диагонали (AC).
• (CD = 3) см.
• (AD = 5) см.

1. Нахождение площади трапеции (ABCD)

Для начала, определим длину основания (AB). Так как угол (A) равен 90 градусам, то (AB) и (AD) формируют прямоугольный треугольник с гипотенузой (AC).

Пусть (AC = x). Тогда из условия перпендикулярности (CD) и (AC) следует, что (CD) — это высота, опущенная на гипотенузу (AC) в прямоугольном треугольнике (ACD).

Используем теорему Пифагора для треугольника (ACD): [ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} ]

Теперь найдём длину основания (AB). Поскольку (AB) — это катет в прямоугольном треугольнике (AAB):

[ AB = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 5^2} = \sqrt{34 - 25} = \sqrt{9} = 3 \text{ см} ]

Теперь найдём площадь трапеции (ABCD). Площадь трапеции вычисляется как: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ]

где (a) и (b) — основания трапеции, а (h) — высота.

В данном случае основания (AB = 3) см и (CD = 3) см, высота (h = AD = 5) см. Подставим данные значения в формулу: [ S = \frac{1}{2} \cdot (3 + 3) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 \text{ см}^2 ]

1. Нахождение площади треугольника (AMD)

Треугольник (AMD) — это половина треугольника (ACD), так как (M) — середина (CD).

Площадь треугольника (ACD) найдем по формуле для площади треугольника: [ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ см}^2 ]

Поскольку (M) — середина (CD), площадь треугольника (AMD) будет половиной площади треугольника (ACD): [ S{AMD} = \frac{1}{2} \cdot S{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 7.5 = 3.75 \text{ см}^2 ]

Итак, ответы:

1. Площадь трапеции (ABCD) равна 15 см².
2. Площадь треугольника (AMD) равна 3.75 см².

1) Для нахождения площади трапеции ABCD воспользуемся формулой: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Так как у нас даны стороны AD и CD, то можем найти основания a и b: a = AD = 5 см, b = CD = 3 см.

Также нам дано, что CD перпендикулярна диагонали AC, а угол A равен 90 градусов. Значит, треугольник ACD - прямоугольный. Используем теорему Пифагора: AC^2 = AD^2 + CD^2, AC^2 = 5^2 + 3^2, AC^2 = 25 + 9, AC^2 = 34, AC = √34 ≈ 5.83 см.

Теперь найдем высоту трапеции h, которая равна расстоянию между основаниями и проходит через вершину угла A: h = AC = √34 ≈ 5.83 см.

Теперь можем найти площадь трапеции: S = (a + b) h / 2, S = (5 + 3) 5.83 / 2, S = 8 * 5.83 / 2, S = 46.64 / 2, S = 23.32 см².

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 23.32 см².

2) Для нахождения площади треугольника AMD воспользуемся формулой для площади треугольника: S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, h - высота треугольника.

Так как M - середина CD, то AM = MD = CD / 2 = 3 / 2 = 1.5 см.

Также мы уже нашли высоту трапеции h = √34 ≈ 5.83 см.

Теперь можем найти площадь треугольника AMD: S = 0.5 a h, S = 0.5 3 5.83, S = 1.5 * 5.83, S = 8.745 см².

Ответ: площадь треугольника AMD равна 8.745 см².