В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равна 2.Выразить вектор BC через а=AC...

Для решения данной задачи нам необходимо выразить вектор BC через вектора AC и BD. Для этого можно воспользоваться свойством параллелограмма, в котором диагонали делятся друг друга пополам.

Поскольку трапеция ABCD - это частный случай параллелограмма, векторы AC и BD можно представить как половины векторов, соединяющих противоположные вершины трапеции: AC = 1/2 (AB + CD) и BD = 1/2 (AB - CD).

Так как отношение длины основания AD к длине основания BC равно 2, значит, AB = 2*CD.

Теперь выразим вектор BC через векторы AC и BD:

BC = AB - AC = 2CD - 1/2 (AB + CD) = 2CD - 1/2 (2CD + CD) = 2CD - 1/2 3CD = 2CD - 3/2CD = 1/2*CD.

Таким образом, вектор BC выражается через векторы AC и BD следующим образом: BC = 1/2*CD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами трапеции и векторной алгеброй. Рассмотрим трапецию (ABCD), где (AD) и (BC) — основания, а отношение их длин равно 2: ( \frac{AD}{BC} = 2 ). Это означает, что (AD = 2 \cdot BC).

Задача состоит в том, чтобы выразить вектор (\mathbf{BC}) через векторы (\mathbf{a} = \mathbf{AC}) и (\mathbf{b} = \mathbf{BD}).

1. Описываем векторы через координаты точек:

   • Вектор (\mathbf{AC}) можно записать как (\mathbf{AC} = \mathbf{OC} - \mathbf{OA}),
   • Вектор (\mathbf{BD}) можно записать как (\mathbf{BD} = \mathbf{OD} - \mathbf{OB}), где (\mathbf{OA}, \mathbf{OB}, \mathbf{OC}, \mathbf{OD}) — радиус-векторы соответствующих точек.

2. Выразим вектор (\mathbf{BC}): [ \mathbf{BC} = \mathbf{OC} - \mathbf{OB} ]

3. Используем условие трапеции: Известно, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме их длин. В данном случае, средняя линия будет также выражена через векторы (\mathbf{AC}) и (\mathbf{BD}).

4. Преобразуем векторы:

   • Вектор (\mathbf{AD}) можно выразить как разность радиус-векторов: (\mathbf{AD} = \mathbf{OD} - \mathbf{OA}).
   • Поскольку (AD = 2 \cdot BC), получаем: (\mathbf{AD} = 2 \cdot \mathbf{BC}).

5. Запишем уравнение: [ \mathbf{OD} - \mathbf{OA} = 2(\mathbf{OC} - \mathbf{OB}) ]

6. Выразим (\mathbf{BC}) через (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}): Подставив в выражение для (\mathbf{AD}) выражения (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), получаем: [ \mathbf{b} - \mathbf{a} = 2\mathbf{BC} ]

7. Итоговое выражение: [ \mathbf{BC} = \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{2} ]

Таким образом, вектор (\mathbf{BC}) через векторы (\mathbf{a} = \mathbf{AC}) и (\mathbf{b} = \mathbf{BD}) выражается как (\frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{2}).