В трапеции ABCD известно, что AD=7, BC=5,а ее площадь равна 72. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN средняя линия трапеции ABCD.
В трапеции ABCD известно, что AD=7, BC=5,а ее площадь равна 72. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN средняя линия трапеции ABCD.
Для решения задачи о нахождении площади трапеции BCNM, где MN — средняя линия трапеции ABCD, начнем с вычисления высоты трапеции ABCD.
Дано:
Формула площади трапеции: [ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h, ] где (a) и (b) — основания трапеции, (h) — высота трапеции.
Подставим известные значения в формулу: [ 72 = \frac{1}{2} \times (7 + 5) \times h. ]
Сначала вычислим сумму оснований: [ 7 + 5 = 12. ]
Теперь подставим обратно в уравнение: [ 72 = \frac{1}{2} \times 12 \times h. ]
Упростим уравнение: [ 72 = 6h. ]
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти высоту: [ h = \frac{72}{6} = 12. ]
Теперь мы знаем, что высота трапеции ABCD равна 12.
Средняя линия трапеции (MN) вычисляется как среднее арифметическое оснований: [ MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6. ]
BCNM — это трапеция, у которой основания BC и MN. Высота этой трапеции остается такой же, как высота исходной трапеции, то есть (h = 12).
Теперь найдем площадь трапеции BCNM: [ S_{BCNM} = \frac{1}{2} \times (BC + MN) \times h. ]
Подставим известные значения: [ S_{BCNM} = \frac{1}{2} \times (5 + 6) \times 12. ]
Сначала вычислим сумму оснований: [ 5 + 6 = 11. ]
Теперь подставим обратно в формулу: [ S_{BCNM} = \frac{1}{2} \times 11 \times 12. ]
Упростим уравнение: [ S_{BCNM} = \frac{1}{2} \times 132 = 66. ]
Таким образом, площадь трапеции BCNM равна 66.
Площадь трапеции BCNM равна половине площади трапеции ABCD, то есть 36.
Для решения данной задачи нам необходимо найти длину средней линии трапеции ABCD, которая равна полусумме оснований трапеции. Следовательно, MN = (AD + BC) / 2 = (7 + 5) / 2 = 6.
Теперь, зная длину средней линии трапеции ABCD, мы можем найти площадь трапеции BCNM. Площадь трапеции равна произведению длины средней линии на высоту, которая равна расстоянию между основаниями трапеции. Высота трапеции равна разности длин отрезков AD и BC, т.е. 7 - 5 = 2.
Таким образом, площадь трапеции BCNM равна S = MN h = 6 2 = 12. Ответ: 12.
