В тетраэдре MNPQ ребро MN=3 корня из 2 см, NP=NQ=7 см, PQ=8см, угол MNP= угол MNQ = 45 градусов . найдите...

Для решения задачи найдем площадь грани ( MPQ ) тетраэдра ( MNPQ ). Даны следующие условия: ( MN = 3\sqrt{2} ) см, ( NP = NQ = 7 ) см, ( PQ = 8 ) см, и углы ( \angle MNP = \angle MNQ = 45^\circ ).

1. Рассмотрим треугольник ( MNP ):

   Поскольку угол ( \angle MNP = 45^\circ ) и ( MN = 3\sqrt{2} ) см, можно использовать косинус теорему:

   [ MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos(45^\circ) ]

   [ MP^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   [ MP^2 = 18 + 49 - 42 = 25 ]

   [ MP = 5 \text{ см} ]

2. Рассмотрим треугольник ( MNQ ):

   Поскольку угол ( \angle MNQ = 45^\circ ) и ( MN = 3\sqrt{2} ) см, аналогично:

   [ MQ^2 = MN^2 + NQ^2 - 2 \cdot MN \cdot NQ \cdot \cos(45^\circ) ]

   [ MQ^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   [ MQ^2 = 18 + 49 - 42 = 25 ]

   [ MQ = 5 \text{ см} ]

3. Теперь у нас есть треугольник ( MPQ ) с известными сторонами ( MP = 5 ) см, ( MQ = 5 ) см, и ( PQ = 8 ) см.

   Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона. Сначала вычислим полупериметр ( s ):

   [ s = \frac{MP + MQ + PQ}{2} = \frac{5 + 5 + 8}{2} = 9 ]

   Теперь подставим в формулу Герона:

   [ A = \sqrt{s(s - MP)(s - MQ)(s - PQ)} ]

   [ A = \sqrt{9(9 - 5)(9 - 5)(9 - 8)} ]

   [ A = \sqrt{9 \times 4 \times 4 \times 1} ]

   [ A = \sqrt{144} = 12 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь грани ( MPQ ) равна ( 12 ) квадратных сантиметров.

Для нахождения площади грани MPQ тетраэдра MNPQ, сначала найдем высоту тетраэдра, опущенную из вершины P на грань MNQ. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике MNP:

MN^2 = NP^2 + MP^2 - 2 NP MP * cos(MNP)

(3√2)^2 = 7^2 + MP^2 - 2 7 MP * cos(45°)

18 = 49 + MP^2 - 14MP * (1/√2)

MP^2 - 14MP + 31 = 0

MP = (14 ± √(14^2 - 4*31)) / 2 = 7 ± 3√2

Так как MP не может быть равно 7 - 3√2 (иначе тетраэдр был бы вырожден), то MP = 7 + 3√2.

Теперь найдем площадь грани MPQ. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника по трем сторонам - формулой Герона:

s = (7 + 8 + MP) / 2 = (15 + 7 + 3√2) / 2 = 11 + 3√2

S = √(s (s - 7) (s - 8) (s - MP)) = √((11 + 3√2) (11 - 3√2) (11 - 8) (11 - 7 - 3√2)) = √(88) = 2√22

Итак, площадь грани MPQ тетраэдра MNPQ равна 2√22 квадратных см.

Площадь грани MPQ в тетраэдре MNPQ равна 18 квадратных сантиметров.