В тетраэдре DABC точка M - середина рёбра BC, точка N - середина отрезка DM. Выразите вектор AN через...

Для того чтобы выразить вектор ( \mathbf{AN} ) через векторы ( \mathbf{a} = \mathbf{AB} ), ( \mathbf{b} = \mathbf{AC} ), и ( \mathbf{c} = \mathbf{AD} ), нам нужно последовательно выразить промежуточные точки через данные векторы.

1. Найдём вектор ( \mathbf{AM} ):

   Поскольку точка ( M ) — середина отрезка ( BC ), то вектор ( \mathbf{AM} ) можно выразить как среднее арифметическое векторов ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ). Таким образом, вектор ( \mathbf{AM} ) равен: [ \mathbf{AM} = \frac{\mathbf{AB} + \mathbf{AC}}{2} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2}. ]

2. Найдём вектор ( \mathbf{DN} ):

   Точка ( N ) — середина отрезка ( DM ), поэтому вектор ( \mathbf{DN} ) также выражается как среднее арифметическое векторов ( \mathbf{D} ) и ( \mathbf{M} ). Сначала найдём вектор ( \mathbf{DM} ): [ \mathbf{DM} = \mathbf{DB} + \mathbf{BM} = -\mathbf{c} + \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{2} = -\mathbf{c} + \frac{\mathbf{b}}{2} - \frac{\mathbf{a}}{2}. ] Тогда вектор ( \mathbf{DN} ) равен: [ \mathbf{DN} = \frac{\mathbf{D} + \mathbf{M}}{2} = \frac{\mathbf{0} + \left(-\mathbf{c} + \frac{\mathbf{b}}{2} - \frac{\mathbf{a}}{2}\right)}{2} = \frac{-\mathbf{c} + \frac{\mathbf{b}}{2} - \frac{\mathbf{a}}{2}}{2}. ]

3. Найдём вектор ( \mathbf{AN} ):

   Теперь, чтобы выразить вектор ( \mathbf{AN} ), нам нужно сложить векторы ( \mathbf{AD} ) и ( \mathbf{DN} ): [ \mathbf{AN} = \mathbf{AD} + \mathbf{DN} = \mathbf{c} + \frac{-\mathbf{c} + \frac{\mathbf{b}}{2} - \frac{\mathbf{a}}{2}}{2}. ] Упрощаем: [ \mathbf{AN} = \mathbf{c} + \left(-\frac{\mathbf{c}}{2} + \frac{\mathbf{b}}{4} - \frac{\mathbf{a}}{4}\right) = \frac{2\mathbf{c} - \mathbf{c}}{2} + \frac{\mathbf{b}}{4} - \frac{\mathbf{a}}{4} = \frac{\mathbf{c}}{2} + \frac{\mathbf{b}}{4} - \frac{\mathbf{a}}{4}. ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{AN} ) выражается через исходные векторы ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ), и ( \mathbf{c} ) следующим образом: [ \mathbf{AN} = \frac{\mathbf{b}}{4} - \frac{\mathbf{a}}{4} + \frac{\mathbf{c}}{2}. ]

Вектор AN можно выразить через вектора a, b и c следующим образом: AN = 1/2 * (a + b + c).

Для начала определим координаты точек в пространстве: Пусть A = (0, 0, 0), B = a, C = b, D = c.

Так как точка M - середина отрезка BC, то координаты точки M равны среднему арифметическому координат точек B и C: M = (1/2)*(a + b).

Аналогично, точка N - середина отрезка DM, поэтому координаты точки N равны среднему арифметическому координат точек D и M: N = (1/2)(c + M) = (1/2)(c + 1/2*(a + b)).

Теперь выразим вектор AN через векторы a, b, c: AN = N - A = (1/2)(c + 1/2(a + b)).

Таким образом, вектор AN выражается через векторы a, b, c следующим образом: AN = 1/2 c + 1/4 a + 1/4 * b.