В тетраэдре DABC плоскость, проходящая через середины ребер DA и DC делит ребро АВ в отношении 1/3....

1:2.

Для решения данной задачи рассмотрим плоскость, проходящую через середины ребер DA и DC. Поскольку эта плоскость делит ребро AB в отношении 1:3, то точка пересечения плоскости с ребром AB находится на расстоянии 1/3 от точки B.

Так как точка, через которую проходит плоскость, является серединой ребра DC, то точка пересечения плоскости с ребром DC также находится на расстоянии 1/2 от точки C.

Таким образом, плоскость, проходящая через середины ребер DA и DC, делит ребро BC в отношении 1:2.

Давайте рассмотрим тетраэдр (DABC) и обозначим середины ребер (DA) и (DC) как точки (M) и (N) соответственно. Плоскость, проходящая через точки (M) и (N), делит ребро (AB) в отношении (1:3) в точке (P). Нам нужно определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро (BC).

Для начала, обозначим координаты вершин тетраэдра следующим образом:

• (D (0, 0, 0))
• (A (a, 0, 0))
• (B (0, b, 0))
• (C (0, 0, c))

Теперь найдем координаты точек (M) и (N):

• (M) — середина ребра (DA), значит ее координаты (\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)).
• (N) — середина ребра (DC), значит ее координаты (\left(0, 0, \frac{c}{2}\right)).

Уравнение плоскости, проходящей через точки (M) и (N), можно найти следующим образом. Пусть уравнение плоскости имеет вид: [Ax + By + Cz + D = 0] Подставим координаты точек (M) и (N) в это уравнение:

Для точки (M \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)): [A\left(\frac{a}{2}\right) + B(0) + C(0) + D = 0 \implies A\frac{a}{2} + D = 0]

Для точки (N \left(0, 0, \frac{c}{2}\right)): [A(0) + B(0) + C\left(\frac{c}{2}\right) + D = 0 \implies C\frac{c}{2} + D = 0]

Из этих уравнений получаем: [D = -\frac{Aa}{2}] [D = -\frac{Cc}{2}]

Так как (D) одинаково для обоих случаев, то: [\frac{Aa}{2} = \frac{Cc}{2} \implies A = \frac{C c}{a}]

Подставляя (A) и (D) в уравнение плоскости, уравнение становится: [\frac{C c}{a} x + Cz - \frac{C c a}{2a} = 0 \implies \frac{C c}{a} x + Cz - \frac{Cc}{2} = 0] [C\left(\frac{c}{a} x + z - \frac{c}{2}\right) = 0]

Отсюда уравнение плоскости: [\frac{c}{a} x + z - \frac{c}{2} = 0]

Теперь определим точку (P), в которой эта плоскость пересекает ребро (AB). Координаты точки (P) можно найти, зная, что точка делит ребро (AB) в отношении (1:3). Выразим координаты (P) через параметр (t): [P \left( \frac{3a}{4}, \frac{b}{4}, 0 \right)]

Теперь проверим, удовлетворяет ли эта точка уравнению плоскости: [\frac{c}{a} \cdot \frac{3a}{4} + 0 - \frac{c}{2} = \frac{3c}{4} - \frac{c}{2} = \frac{3c}{4} - \frac{2c}{4} = \frac{c}{4}] Так как уравнение плоскости удовлетворяется, точка (P) действительно лежит в этой плоскости.

Теперь найдем точку (Q), в которой эта плоскость пересекает ребро (BC). Пусть координаты точки (Q) будут ((0, y, z)). Подставив эти координаты в уравнение плоскости: [\frac{c}{a} \cdot 0 + z - \frac{c}{2} = 0 \implies z = \frac{c}{2}]

Значит, точка (Q) имеет координаты ((0, y, \frac{c}{2})). Так как точка (Q) лежит на ребре (BC), (y) можно выразить через параметр деления (k): [Q \left(0, (1 - k) b, \frac{c}{2} \right)]

Теперь решаем: [\frac{y}{b} = k, \frac{c}{2} = (1 - k) c ] [(1 - k) c = \frac{c}{2} \implies 1 - k = \frac{1}{2} \implies k = \frac{1}{2}]

Таким образом, плоскость делит ребро (BC) в отношении (1:1) (то есть, пополам).