Для решения задачи необходимо использовать свойства ромба и векторов. Давайте разберем всё по порядку.
1. Свойства ромба:
- В ромбе все стороны равны: ( AB = BC = CD = DA ).
- Диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
Итак, диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ), а значит, точка ( O ) является их серединой. Следовательно:
[
AO = \frac{AC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5,
]
[
BO = \frac{BD}{2} = \frac{31}{2} = 15.5.
]
2. Вычисление длины стороны ромба:
Каждая сторона ромба может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, так как диагонали разделяют ромб на четыре прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников, например, ( \triangle AOB ). В этом треугольнике:
- ( AO = 7.5 ) (половина диагонали ( AC )),
- ( BO = 15.5 ) (половина диагонали ( BD )),
- ( AB ) — гипотенуза (сторона ромба).
Применяя теорему Пифагора, находим длину ( AB ):
[
AB = \sqrt{AO^2 + BO^2}.
]
Подставляем значения:
[
AB = \sqrt{7.5^2 + 15.5^2} = \sqrt{56.25 + 240.25} = \sqrt{296.5}.
]
Таким образом:
[
AB \approx 17.22.
]
Поскольку все стороны ромба равны, то ( AB = AD = 17.22 ).
3. Векторная сумма ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ):
Рассмотрим векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AD} ). Эти векторы исходят из одной точки ( A ). Угол между ними равен ( 90^\circ ), так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а стороны ромба симметрично расположены относительно диагоналей.
Если два вектора равной длины (здесь ( |AB| = |AD| = 17.22 )) образуют угол ( 90^\circ ), то длина их суммы ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ) вычисляется по теореме Пифагора:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{|AB|^2 + |AD|^2}.
]
Подставляем значения:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{17.22^2 + 17.22^2} = \sqrt{2 \cdot 17.22^2}.
]
Вычислим:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{2} \cdot 17.22 \approx 1.414 \cdot 17.22 \approx 24.36.
]
Ответ:
Длина вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ) равна приблизительно ( 24.36 ).