В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписана окружность. Чему равен радиус окружности ?

Для нахождения радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника можно воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности (r) треугольника, которая выражается через его площадь (S) и полупериметр (p):

[ r = \frac{S}{p} ]

1. Находим полупериметр (p): Полупериметр равностороннего треугольника можно найти по формуле:

   [ p = \frac{a + b + c}{2} ]

   В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому:

   [ p = \frac{3a}{2} ]

   Подставим значение стороны ( a = 8 ) см:

   [ p = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} ]

2. Находим площадь (S): Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

   [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

   Подставим значение стороны:

   [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

3. Находим радиус вписанной окружности (r): Теперь подставим найденные значения площади и полупериметра в формулу для радиуса:

   [ r = \frac{S}{p} = \frac{16\sqrt{3}}{12} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{см} ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной 8 см равен ( \frac{4\sqrt{3}}{3} ) см, что примерно равно 2.31 см.

Для решения задачи найдем радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике.

Дано:

• Сторона равностороннего треугольника ( a = 8 ) см.

Формула радиуса вписанной окружности:

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности (( r )) выражается через сторону треугольника ( a ) следующим образом: [ r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}. ]

Вывод формулы:

1. Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: [ r = \frac{S}{p}, ] где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — его полупериметр.

2. Полупериметр равностороннего треугольника: [ p = \frac{3a}{2}. ]

3. Площадь ( S ) равностороннего треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}. ]

4. Подставим значения ( S ) и ( p ) в формулу радиуса ( r ): [ r = \frac{\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}}. ]

5. Упростим выражение: [ r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}. ]

Решение для ( a = 8 ):

Подставим значение ( a = 8 ) в формулу: [ r = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{6}. ]

Упростим дробь: [ r = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{3}. ]

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен: [ r = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{см} \, \approx 2.31 \, \text{см}. ]